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2026 , Vol. 59 >Issue 8: 49 - 60

DOI: https://doi.org/10.11930/j.issn.1004-9649.202604070

Original article

Interval prediction of current transformer measurement error based on DTCN and residual Bootstrap method

  • Herong ZHU , 1 ,
  • Shaodong LI , 1 ,
  • Senlin ZHAO , 1 ,
  • Wei LU , 1 ,
  • Jindong DENG 1 ,
  • Zhenhua LI 2
Expand
  • 1 NR Electric Co.， Ltd.， Nanjing 211102， China
  • 2 College of Electrical Engineering＆New Energy， China Three Gorges University， Yichang 443002， China

Received date: 2026-04-27

  Revised date: 2026-07-27

  Online published: 2026-09-03

Fold

Abstract

To address the problems that the ratio-error series of current-transformers，affected by environmental disturbance， operating condition variations and random noise，exhibit nonstationary and multi-scale characteristics，and it is difficult to balance point prediction and interval estimation，this paper proposes an interval forecasting method integrating complete ensemble empirical mode decomposition（CEEMD），dual-scale temporal convolutional network（DTCN）and bias-corrected residual bootstrap（BCRB）.Firstly，The CEEMD is adopted to decompose and reconstruct the original ratio-error series to suppress high-frequency noise and mode mixing.Secondly， the DTCN is used to extract short-term fluctuation and long-term drift features to realize point prediction of ratio errors.Finally，prediction intervals under different confidence levels are constructed based on the residual bootstrap method. Case studies show that the proposed method achieves a high interval coverage probability at the confidence level of 0.99. This work is supported by National Key Research and Development Program of China（No.2023YFB2405903）.

Key words： current transformers; measurement error; complete ensemble empirical mode decomposition; dual-scale temporal convolutional network; interval prediction

Cite this article

Herong ZHU , Shaodong LI , Senlin ZHAO , Wei LU , Jindong DENG , Zhenhua LI . Interval prediction of current transformer measurement error based on DTCN and residual Bootstrap method[J]. Electric Power, 2026 , 59(8) : 49 -60 . DOI: 10.11930/j.issn.1004-9649.202604070

0 引言

电流互感器是电力系统中电流测量、能量计量和保护控制的关键设备，其测量准确性和运行可靠性直接关系到电网监测、继电保护以及电能交易的安全与公平 [1-4] 。在长期运行过程中，电流互感器测量误差受温度变化、负载波动和运行状态变化等因素共同影响，呈现出缓慢漂移与短时扰动并存的非平稳特征 [1,4-5] 。若不能对该类非平稳误差进行准确预测和有效评估，将降低计量结果的可信度和继电保护动作的可靠性，甚至带来电网运行风险 [6-7] 。
传统的电流互感器校准多依赖于计划性停电条件下的离线比对测试。该类方法虽具有较高测量精度，但需要解列设备并配置专用人员与仪器，运维代价较高，且难以满足实时监测需求。随着传感与通信技术的发展，基于在线监测数据的误差建模与预测方法逐渐受到关注。现有研究中，自回归积分滑动平均 [8] 等时间序列模型已被用于互感器误差建模，但这类方法通常基于平稳性假设，对非线性特征和多时间尺度变化的刻画能力有限；另一方面，长短期记忆网络（long short-term memory，LSTM）[9] 、门控循环单元（gated recurrent unit，GRU）[10] 和时序卷积网络（temporal convolutional network，TCN）[11]等深度学习方法，凭借较强的非线性拟合能力，已在电力负荷预测 [12-14] 和故障诊断 [15-17] 等场景中取得较好效果，并被尝试用于电流互感器误差预测 [18] 。然而，现有研究多直接针对原始比差序列建模，未能充分考虑不同时间尺度成分之间的耦合关系，也未能有效处理短时扰动与长期漂移叠加带来的建模难题，因此在预测精度与模型稳定性方面仍有提升空间。
为此，本文提出一种融合完全集合经验模态分解（ complete ensemble empirical mode decomposition， CEEMD）、双尺度时序卷积网络（dual-scale temporal convolutional network，DTCN）和偏差校正残差 Bootstrap 的电流互感器测量误差区间预测方法，主要贡献如下。
1）引入 CEEMD 对原始比差序列进行自适应分解，将复杂非平稳序列分解为一组具有良好时频局部性的本征模态函数及残差分量，从而减弱高频噪声和模态混叠的影响，提升序列的可预测性。
2）构建 DTCN，通过设置不同膨胀系数的卷积核，分别提取误差序列中的短时波动特征与长期变化特征，实现多时间尺度信息的协同建模。
3）提出偏差校正残差 Bootstrap 区间构建方法，通过偏差校正百分位区间给出给定置信水平下的比差预测区间，从而量化预测结果的不确定性。
针对某在运 110 kV 变电站在线监测数据的算例分析表明，所提方法在点预测精度和区间刻画能力方面均优于对比模型，验证了方法的有效性。

1 电流互感器非平稳测量误差预测问题建模

1.1 多输入单输出预测建模

电流互感器将电网中的一次电流 I1 按额定变比 Kr 转换为二次电流 I2 。在理想情况下，I1= KrI2 ；实际运行中两者之间存在偏差 [19-20] ，其比差通常表示为
$\begin{array}{c}\mathit{f}=\frac{{\mathit{K}}_{\mathrm{r}}{\mathit{I}}_{2}-{\mathit{I}}_{1}}{{\mathit{I}}_{1}}\times 100\mathit{\%}\end{array}$
式中：f 为比差，当 $\left|\mathit{f}\right|$ 超出对应准确度等级的允许范围时，表明互感器计量性能发生退化，需要进行校准或检修。
考虑到互感器测量误差不仅与一次电流幅值有关，还受到环境温度、相对湿度、电压相位偏移及电磁干扰水平等因素影响 [21] ，可将其预测问题表述为多输人单输出回归问题。设长度为 T 的历史比差序列为 $\left\{\mathit{x}\right(\mathit{t}){\}}_{\mathit{t}=1}^{\mathit{T}}$ ，将任一时刻影响测量准确性的环境与工况特征向量记为 Y ，则长度为T 的输人矩阵可表示为
$\begin{array}{c}\mathit{Y}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathit{Y}}_{\mathrm{1,1}}& \cdots & {\mathit{Y}}_{1,\mathit{T}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathit{Y}}_{\mathit{N},1}& \cdots & {\mathit{Y}}_{\mathit{N},\mathit{T}}\end{array}\right]\in {\mathit{R}}^{\mathit{N}\times \mathit{T}}\end{array}$
式中： ${\mathit{Y}}_{\mathit{i},\mathit{j}}(\mathit{i}=1,\cdots,\mathit{N},\mathit{j}=1,\cdots,\mathit{T})$ 为第 i 个影响因子在时刻 j 的取值；N 为特征维度。
以长度为 T 的滑动时间窗作为模型输入，目标是根据历史比差与环境特征预测下一时刻比差值 x(t+1) ，其计算式为
$\begin{array}{c}\mathit{x}(\mathit{t}+1)=\mathit{F}\left(\mathit{x}\left(1\right),\cdots,\mathit{x}\left(\mathit{t}\right);{\mathit{Y}}_{1},\cdots,{\mathit{Y}}_{\mathit{t}}\right)\end{array}$
式中：F(⋅) 为待学习的非线性映射。

1.2 CEEMD-DTCN-Bootstrap 预测框架与实现步骤

如何构建能够同时表征短时扰动与长期漂移，并适用于非平稳序列的预测模型，是电流互感器误差预测的关键。针对误差序列非平稳性强、噪声干扰明显等特点，本文提出的 CEEMD-DTCN-Bootstrap 方法由 4 个模块组成，在实现点预测的基础上进一步给出预测区间。具体步骤如下。
1）信号分解与重构。采用 CEEMD 对原始比差序列进行预处理，获得若干本征模态函数（intrinsic mode function，IMF）和残差项。通过噪声辅助与集合平均策略，有效减弱传统经验模态分解（empirical mode decomposition，EMD）中的模态混叠和端点效应，使各 IMF 分量具有更清晰的频带分布特征，并将重构后的多分量序列作为后续网络的多通道输入。
2）双尺度时序特征提取。将 CEEMD 重构后的多通道时间序列输入 DTCN。短时间尺度分支采用较小膨胀系数的因果卷积，用于提取快速波动和局部突变特征；长时间尺度分支采用较大膨胀系数及更深层卷积结构，以刻画比差的缓慢漂移与周期性变化。两分支输出在时间维上对齐后进行特征融合，形成综合的多尺度时序表示。
3）点预测输出。将 DTCN 提取的时序特征输入全连接层，输出下一时刻比差的点预测值。训练过程中采用均方误差作为损失函数，并结合反向传播更新网络参数；同时引入 L2 正则化与早停策略，以抑制过拟合并提高模型稳定性。
4）区间估计。在点预测基础上，引入偏差校正的残差 Bootstrap 方法，通过对模型残差进行重复重采样构造预测样本集合，进一步计算给定置信水平下的预测区间端点，从而实现对比差预测不确定性的量化评估。
通过上述流程，模型能够在多时间尺度上表征电流互感器比差的动态变化特性，既提升了对非平稳误差序列的预测能力，又提供了具有统计意义的区间信息。

2 面向非平稳比差序列的 CEEMD-DTCN-Bootstrap 预测方法

2.1 面向非平稳比差序列的 CEEMD 分解与重构方法

电流互感器比差序列通常同时包含缓慢漂移、周期性波动和高频扰动等多种成分，若直接输入深度模型，容易增加特征提取难度并影响训练稳定性 [22-23] 。为增强模型对非平稳多尺度信号的建模能力，本文采用 CEEMD 对原始比差序列进行预处理，将其分解为一组 IMF 和残差项。主要步骤如下。
1）噪声辅助信号构造。对原始比差序列叠加零均值白噪声序列 ε(i)(t) ，构造第 i 组噪声辅助信号 ${\mathit{x}}_{\text{noise }}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)$ 为
$\begin{array}{c}{\mathit{x}}_{\text{noise }}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)=\mathit{x}\left(\mathit{t}\right)+{\mathit{\epsilon }}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right),\mathit{ }\mathit{i}=\mathrm{1,2},\cdots,{\mathit{N}}_{\mathrm{C}}\end{array}$
式中：ε(i)(t) 为相互独立的零均值白噪声序列，满足 $\mathit{E}\left[{\mathit{\epsilon }}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)\right]=0,\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\left[{\mathit{\epsilon }}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)\right]={\mathit{\sigma }}_{\mathit{\epsilon }}^{2},{\mathit{\sigma }}_{\mathit{\epsilon }}^{2}$ 为序列方差；NC为噪声集合次数。
2）对噪声辅助信号进行 EMD 分解。对每组噪声辅助信号 xnoise (t) 执行 EMD 迭代筛分。记第 r次筛分的中间结果为 h(r)(t) 。在每次筛分中，首先识别 h(r)(t) 的全部局部极大值与极小值，并分别构造上包络 u(r)(t) 与下包络 l(r)(t) ，则当前轮次的均值包络 m(r)(t) 为
$\begin{array}{c}{\mathit{m}}^{\left(\mathit{r}\right)}\left(\mathit{t}\right)=\frac{{\mathit{u}}^{\left(\mathit{r}\right)}\left(\mathit{t}\right)+{\mathit{l}}^{\left(\mathit{r}\right)}\left(\mathit{t}\right)}{2}\end{array}$
进一步完成一次筛分更新为
$\begin{array}{c}{\mathit{h}}^{(\mathit{r}-1)}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{h}}^{\left(\mathit{r}\right)}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{m}}^{\left(\mathit{r}\right)}\left(\mathit{t}\right)\end{array}$
当 h(r)(t) 满足 IMF 的 2 个判据，即极值点数与零交叉点数之差不超过 1 ，且上下包络的局部均值近似为0时，将其记为第 k 个 IMF： ${\mathit{I}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{k}}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{h}}^{\left(\mathit{r}\right)}\left(\mathit{t}\right)$ ，并从当前残差信号中剔除该分量，即
$\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}{\mathit{r}}_{\mathit{k}}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{r}}_{\mathit{k}-1}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{I}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{k}}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)\\ {\mathit{r}}_{0}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{x}}_{\text{noise }}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)\end{array}\right.\end{array}$
式中： ${\mathit{I}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}\mathit{k}}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)$ 为第 i 组噪声辅助信号分解得到的第 k 个本征模态函数； ${\mathit{r}}_{\mathit{k}}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)$ 为第 i 组噪声辅助信号分解后的残差项；k 为本征模态函数序号。
重复上述过程，直至残差信号 ${\mathit{r}}_{\mathit{k}}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)$ 近似单调或仅含低频趋势，得到该次分解的 IMF 集合为
$\begin{array}{c}{\mathit{x}}_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)=\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{K}}  {\mathit{I}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{k}}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)+{\mathit{r}}_{\mathit{K}}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)\end{array}$
式中：K 为模态数。
3）集合平均得到最终 IMF 分量与残差。对全部 NC 组噪声增强信号的分解结果按 IMF 阶次进行集合平均，得到最终稳定 IMF 为
$\begin{array}{c}{\mathit{I}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\left(\mathit{t}\right)=\frac{1}{\mathit{N}}\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{K}}  {\mathit{I}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{k}}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)\end{array}$
式中：N 为噪声集合次数。
残差项为
$\begin{array}{c}\mathit{R}\left(\mathit{t}\right)=\frac{1}{\mathit{N}}\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}  {\mathit{r}}_{\mathit{K}}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)\end{array}$
式中：R(t) 为 t 时刻的残差项。
最终重构形式 x(t) 为
$\begin{array}{c}\mathit{x}\left(\mathit{t}\right)=\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{K}}  {\mathit{I}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}\mathit{k}}^{\left(\mathit{i}\right)}\left(\mathit{t}\right)+\mathit{R}\left(\mathit{t}\right)\end{array}$
通过 CEEMD 分解，原始非平稳比差序列被拆分为若干具有不同频率尺度和动态特征的子序列。这一过程有助于减轻传统 EMD 中的模态混叠问题，并为后续多通道时序建模提供分层的多尺度输入结构。
图1展示了 CEEMD 处理后各 IMF 分量在时域下的分布特征，可以看到，各 IMF 呈现出由高频到低频的时频递降结构。
图1 CEEMD 分解结果

Fig. 1 CEEMD decomposition result

图2对比了原始比差序列、CEEMD 重构序列及其残差项的变化情况。可以看出，重构序列与原始序列高度吻合，残差量级极小，可以忽略，也说明了 CEEMD 能在有效抑制高频噪声的同时保留误差信号的主要演化特征。

2.2 基于 DTCN 的多时间尺度特征学习方法

CEEMD 将非平稳比差序列分解为多通道 IMF分量和残差项，但不同时间尺度成分之间的时序相关性仍需要通过专门的时序模型进一步刻画。为此，本文在时序卷积网络基础上构建双尺度结构，通过并行膨胀卷积分别捕捉短时扰动与长期漂移特征，并利用双分支特征融合增强多时间尺度依赖关系的表征能力。
图2 CEEMD 分解后的序列和原始序列的对比

Fig. 2 Comparison between the CEEMD-decomposed sequences and the original sequence

2.2.1 时序卷积网络的因果膨胀卷积与残差机制

时序卷积网络通过因果卷积与膨胀卷积的结合，在保持时序因果性的前提下有效扩大感受野，适用于长序列建模。记经 CEEMD 处理后得到的多通道输入序列为 $\mathit{X}={\left[\begin{array}{llll}{\mathit{x}}_{1}& {\mathit{x}}_{2}& \cdots & {\mathit{x}}_{\mathit{t}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\in {\mathit{R}}^{\mathit{T}\times \mathit{K}}$ ，则第 l 层 TCN 的因果膨胀卷积输出 ${\tilde{\mathit{h}}}_{\mathit{t}}^{\left(\mathit{l}\right)[24-25]}$ 为
$\begin{array}{c}{\tilde{\mathit{h}}}_{\mathit{t}}^{\left(\mathit{l}\right)}=\sum _{\mathit{i}=0}^{\mathit{k}-1}  {\mathit{f}}^{\left(\mathit{l}\right)}\left(\mathit{i}\right){\mathit{h}}_{\mathit{t}-{\mathit{d}}_{1}\mathit{i}}^{(\mathit{l}-1)},\mathit{ }\mathit{t}=1,\cdots,\mathit{T}\end{array}$
式中：f(l)(i) 为第 l 层卷积核在时间位移 i 处的权重；k 为卷积核长度；d1 为膨胀系数； ${\mathit{h}}_{\mathit{t}}^{\left(0\right)}={\mathit{x}}_{\mathit{t}}$ 。
经卷积输出后，再经线性变换和激活函数处理，可得
$\begin{array}{c}{\mathit{g}}_{\mathit{t}}^{\left(\mathit{l}\right)}=\mathit{\sigma }\left({\mathit{W}}^{\left(\mathit{l}\right)}{\mathit{z}}_{\mathit{t}}^{\left(\mathit{l}\right)}+{\mathit{b}}^{\left(\mathit{l}\right)}\right)\end{array}$
式中：W 为权重参数；b 为偏置参数；σ(⋅) 为激活函数。
为缓解梯度消失并增强特征复用，本文在残差块内引入跳跃连接，将块输入与卷积变换结果相加后传递至下一层。记第 l 层的输入与输出特征和则残差更新形式为
$\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}{\mathit{H}}^{\left(\mathit{l}\right)}={\left[{\mathit{h}}_{1}^{\left(\mathit{l}\right)}\cdots {\mathit{h}}_{\mathit{T}}^{\left(\mathit{l}\right)}\right]}^{\mathrm{T}}\\ {\mathit{G}}^{\left(\mathit{l}\right)}={\left[\begin{array}{lll}{\mathit{g}}_{1}^{\left(\mathit{l}\right)}& \cdots & {\mathit{g}}_{\mathit{T}}^{\left(\mathit{l}\right)}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\end{array}\right.\end{array}$
$\begin{array}{c}{\mathit{H}}^{\left(\mathit{l}\right)}={\mathit{H}}^{(\mathit{l}-1)}+{\mathit{G}}^{\left(\mathit{l}\right)}\end{array}$
式中： H(l) 为第 l 层 TCN 的输入特征；G(l) 为第l 层 TCN 的输出特征。堆叠 L 个残差块，并令膨胀系数随层数按指数方式增长，TCN 能够在有限层数下获得较大的感受野，从而对长时间跨度的相关性进行建模。

2.2.2 面向短时扰动与长期漂移的双尺度特征融合机制

单分支 TCN 难以同时兼顾不同时间尺度上的局部细节与整体趋势。为同时捕捉短时扰动与长期漂移特征，本文在基础 TCN 结构上构建双尺度卷积分支，其中短尺度分支记为 S，长尺度分支记为 L。双尺度 DTCN 结构如图3所示。
图3 双尺度时序 TCN 结构示意

Fig. 3 Schematic of the dual-scale temporal TCN architecture

1）短尺度分支采用较小的膨胀系数集合 $\left\{{\mathit{d}}_{1}^{\mathrm{S}}\right\}$与较短卷积核 k ，侧重提取短时波动和局部突变特征；2）长尺度分支采用较大的膨胀系数集合 $\left\{{\mathit{d}}_{1}^{\mathrm{L}}\right\}$ ，侧重刻画长期漂移和周期性变化等慢变特征。
分别记两路分支经残差块堆叠后的输出特征为 H(S) 和 H(L) ，则在时间步 t 的多尺度特征融合可表示为
$\begin{array}{c}{\mathit{H}}_{\mathit{t}}^{\left(\mathrm{M}\mathrm{S}\right)}=\mathit{\varphi }\left(\left[{\mathit{H}}_{\mathit{t}}^{\left(\mathrm{S}\right)};{\mathit{H}}_{\mathit{t}}^{\left(\mathrm{L}\right)}\right]\right)={\mathit{W}}^{\left(\mathrm{M}\mathrm{S}\right)}\left[{\mathit{H}}_{\mathit{t}}^{\left(\mathrm{S}\right)};{\mathit{H}}_{\mathit{t}}^{\left(\mathrm{L}\right)}\right]+{\mathit{b}}^{\left(\mathrm{M}\mathrm{S}\right)}\end{array}$
式中： $\mathit{\varphi }(\cdot )$ 为含激活函数的非线性映射； W(MS) 和b(MS) 为融合层参数； H(MS) 为同时包含短时与长期信息的多尺度时序特征。
最终，将双尺度特征 ${\mathit{H}}_{\mathit{t}}^{\left(\mathrm{M}\mathrm{S}\right)}$ 输入全连接层，得到下一时刻比差的点预测值 ${\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{x}}}_{\mathit{t}+1}$ 为
$\begin{array}{c}{\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{x}}}_{\mathit{t}+1}={\mathit{w}}_{0}^{\mathit{T}}{\mathit{H}}_{\mathit{t}}^{\left(\mathrm{M}\mathrm{S}\right)}+{\mathit{b}}_{0}\end{array}$
式中： w0、b0 为输出层参数。通过短尺度分支与长尺度分支的并行建模，模型能够同时提取误差信号在不同时间尺度上的动态特征，从而提升多尺度时序依赖关系的建模能力。
为说明 DTCN 在特征融合前对不同时间尺度信息的响应差异，图4给出了短尺度分支与长尺度分支在融合层输入端的特征响应示意热力。由图4可见，短尺度分支在局部时间位置呈现更集中的响应区域，对短时波动和局部突变更敏感；长尺度分支则沿时间轴表现出更连续的宽带响应，更侧重刻画缓慢漂移和周期性变化。上述差异说明两路分支在融合前具有明显互补性，为后续多尺度特征融合和预测性能提升提供了结构支撑。
图4 双尺度分支在特征融合前的响应差异示意热力图

Fig. 4 Heatmap schematic of response differences of dual-scale branches before feature fusion

2.3 基于残差 Bootstrap 的预测区间构建

为量化预测结果的不确定性，本文采用基于残差的 Bootstrap 方法构建预测区间，并在传统百分位区间基础上引入偏差校正，以减小实际覆盖率相对于目标覆盖水平的偏离，具体流程如下。
1）残差中心化与 Bootstrap 样本生成。设训练集长度为 Ttr ，对应预测残差定义为 ${\mathit{e}}_{\mathit{t}}={\mathit{x}}_{\mathit{t}+1}-{\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{x}}}_{\mathit{t}+1}$ 。为减弱残差均值偏移对区间构建的影响，对训练残差进行中心化处理得到中心化残差 ${\tilde{\mathit{e}}}_{\mathit{t}}$ 为
$\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}{\tilde{\mathit{e}}}_{\mathit{t}}={\mathit{e}}_{\mathit{t}}-\stackrel{\mathit{‾}}{\mathit{e}}\\ \stackrel{\mathit{‾}}{\mathit{e}}=\frac{1}{{\mathit{T}}_{\mathrm{t}\mathrm{r}}}\sum _{\mathit{t}=1}^{{\mathit{T}}_{\mathrm{t}\mathrm{r}}}  {\mathit{e}}_{\mathit{t}}\end{array}\right.\end{array}$
式中： $\stackrel{\mathit{‾}}{\mathit{e}}$ 为残差均值。
随后，从中心化残差集合 $\left\{{\tilde{\mathit{e}}}_{1},\cdots,{\tilde{\mathit{e}}}_{{\mathit{T}}_{\mathrm{t}\mathrm{r}}}\right\}$ 中进行有放回抽样，得到第 b 次重抽样残差 ${\tilde{\mathit{e}}}_{\mathit{t}}^{\mathrm{*}\left(\mathit{b}\right)}$ 。在给定点预测值 ${\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{x}}}_{\mathit{t}+1}$ 的基础上，第 b 个 Bootstrap 预测样本为
$\begin{array}{c}{\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{x}}}_{\mathit{t}+1}^{\left(\mathit{b}\right)}={\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{x}}}_{\mathit{t}+1}+{\tilde{\mathit{e}}}_{\mathit{t}}^{\mathrm{*}\left(\mathit{b}\right)}\end{array}$
由此得到 t+1 时刻处预测值的经验分布近似 ${\left\{{\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{x}}}_{\mathit{t}+1}^{\left(\mathit{b}\right)}\right\}}_{\mathit{b}=1}^{\mathit{B}}$ 。
2 ）传统百分位预测区间。给定目标覆盖水平α ，将 ${\left\{{\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{x}}}_{\mathit{t}+1}^{\left(\mathit{b}\right)}\right\}}_{\mathit{b}=1}^{\mathit{B}}$ 按́升序排列，记其经验分位点为Qp(⋅) ，其中 $\mathit{p}\in \left(\mathrm{0,1}\right)$ 表示分位水平，则传统百分位 Bootstrap 预测区间 [26-27] 可表示为
$\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}{\mathit{L}}_{\mathit{t}}^{\mathrm{P}\mathrm{B}}={\mathit{Q}}_{\frac{1-\mathit{\alpha }}{2}}\left(\left\{{\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{x}}}_{\mathit{t}+1}^{\left(\mathit{b}\right)}\right\}\right)\\ {\mathit{U}}_{\mathit{t}}^{\mathrm{P}\mathrm{B}}={\mathit{Q}}_{1-\frac{1-\mathit{\alpha }}{2}}\left(\left\{{\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{x}}}_{\mathit{t}+1}^{\left(\mathit{b}\right)}\right\}\right)\end{array}\right.\end{array}$
式中： ${\mathit{U}}_{\mathit{t}}^{\mathrm{P}\mathrm{B}}\mathrm{、}{\mathit{L}}_{\mathit{t}}^{\mathrm{P}\mathrm{B}}$ 分别为预测区间上、下限。
3）偏差校正百分位预测区间。当原始点预测值与 Bootstrap 经验分布存在系统偏移，或 Bootstrap分布呈现明显非对称性时，传统百分位区间的实际覆盖率可能偏离目标覆盖水平。为此，引入偏差校正参数 p0 ，将目标分位水平修正为
$\begin{array}{c}{\mathit{p}}_{0}=\frac{1}{\mathit{B}}\sum _{\mathit{b}=1}^{\mathit{B}}  \mathit{I}\left({\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{x}}}_{\mathit{t}+1}^{\left(\mathit{b}\right)}⩽{\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{x}}}_{\mathit{t}+1}\right)\end{array}$
式中： $\mathbb{I}(\cdot )$ 为指示函数。
然后，定义偏差校正参数 ${\mathit{z}}_{0}={\mathrm{\Phi }}^{-1}\left({\mathit{p}}_{0}\right),{\mathrm{\Phi }}^{-1}(\cdot )$为标准正态分布的反函数。 z0 反映了 Bootstrap 分布相对于原始点预测值的整体偏移程度：当估计偏差为零时，理论上有 p0≈0.5 ，进而 z0≈0 。
在给定目标覆盖水平下，记双侧尾部概率对应的标准正态分位为
$\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}{\mathit{z}}_{\text{low }}={\mathrm{\Phi }}^{-1}\left(\frac{1-\mathit{\alpha }}{2}\right)\\ {\mathit{z}}_{\text{up }}={\mathrm{\Phi }}^{-1}\left(1-\frac{1-\mathit{\alpha }}{2}\right)\end{array}\right.\end{array}$
式中：zup  和 zlow  分别为偏差校正后的上侧和下侧有效分位水平，用于确定偏差校正预测区间的上下边界。
最终，经偏差校正后的区间端点可表示为
$\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}{\mathit{\alpha }}_{\text{low }}=\mathrm{\Phi }\left(2{\mathit{z}}_{0}+{\mathit{z}}_{\text{low }}\right)\\ {\mathit{\alpha }}_{\text{up }}=\mathrm{\Phi }\left(2{\mathit{z}}_{0}+{\mathit{z}}_{\text{up }}\right)\end{array}\right.\end{array}$
式中：alow  和 aup  分别为经偏差校正后的有效分位水平。
最终，经偏差校正后的区间端点可表示为
$\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}{\mathit{L}}_{\mathit{T}+1}={\mathit{Q}}_{{\mathit{\alpha }}_{\text{low }}}\left(\left\{{\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{x}}}_{\mathit{t}+1}^{\left(\mathit{b}\right)}\right\}\right)\\ {\mathit{U}}_{\mathit{T}+1}={\mathit{Q}}_{{\mathit{\alpha }}_{\text{up }}}\left(\left\{{\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{x}}}_{\mathit{t}+1}^{\left(\mathit{b}\right)}\right\}\right)\end{array}\right.\end{array}$
式中：Qα1ow 和 Qαup 分别为传统百分位 Bootstrap 预测区间的下限和上限；LT+1 和 UT+1 分别为偏差校正后预测区间的下限和上限。
由此，可在每个预测时刻 t+1 得到点预测值及其偏差校正 Bootstrap 置信区间 [LT+1,UT+1] 。与传统百分位 Bootstrap 方法相比，该方法通过修正目标分位水平，能够在残差分布存在偏斜或点预测结果存在系统偏差时改善区间覆盖率，使实际覆盖概率更接近目标覆盖水平。

3 算例分析与实验验证

3.1 数据来源和处理

实验数据来自某在运 110 kV 变电站。数据采集以标准互感器为参考，并与投运的待测0.2级电子式电流互感器并列运行，通过同步记录和比对二次输出信号，获得互感器比差数据。数据采样间隔为 10 min 。原始数据经脱敏导出后，依次完成缺失值清洗、异常跳变点处理和时间错位修正，并按 30 min 时间尺度进行聚合重采样。12672组原始样本经重采样后，得到4224组有效样本。考虑到时间序列预测任务的时序连续性，本文按照时间顺序将样本划分为训练集、验证集和测试集，比例约为 8:1:1 。对应样本数量分别约为3379组、422组和423组。
参数设置方面，CEEMD 预处理阶段的噪声标准差系数取 1×10-4 ，集合平均次数取 500 。模型输入采用长度为10的滑动时间窗构造，预测步长为1。各深度学习模型统一采用 Adam 优化器，训练轮数为 200 ，学习率为 0.003 。 Bootstrap 区间构建阶段采用中心化残差的有放回重采样方式，重采样次数 B 取 3000 。

3.2 点预测精度与区间可靠性评价指标

为评价点预测性能，本文采用均方根误差（root mean square error，RMSE）、平均绝对误差（mean absolute error，MAE）和决定系数（coeff- icient of determination，R2 ）3个指标。RMSE 反映预测误差的整体波动水平，对较大误差更为敏感；MAE 表征平均绝对偏差，具有较好的直观性；R2 则用于衡量模型对真实数据变化的解释能力，其值越接近1，表明拟合效果越好。
考虑到本文进一步构建了预测区间，为评价区间预测性能，选取预测区间覆盖率（prediction interval coverage probability，PICP）、归一化平均区间宽度（prediction interval normalized average width， PINAW）和平均区间得分（average interval score， AIS）3个指标，对模型的区间预测能力进行评价。

3.3 不同深度模型的点预测对比实验

为评估 DTCN 在未引入 CEEMD 预处理条件下的点预测性能，选取 CNN [28] 、 TCN [29] 、BiTCN [30]和本文提出的 DTCN 这 4 种网络结构进行对比。各模型统一采用200轮训练、Adam 优化器和0.003的学习率，预测结果如表1和图5所示。
由表1可见，CNN 作为一维卷积基线模型，其 RMSE 和 MAE 均处于较高水平，说明单一局部卷积难以充分刻画比差序列中的时序依赖特征，预测性能相对较弱。引入膨胀卷积后，TCN 这3项指标上均优于 CNN。进一步地，BiTCN 通过增强时序依赖建模能力，在 TCN 基础上继续提升了预测精度。
表 1 未经 CEEMD 处理的不同模型点预测性能对比

Table 1 Point forecasting performance comparison of different models without CEEMD preprocessing

模型 评估指标
RMSE/ 10-3 MAE/ 10-3 R2
CNN 2.278 2.032 0.938
TCN 1.602 1.330 0.969
BiTCN 1.515 1.229 0.973
DTCN 1.418 1.153 0.976
图5 4 类模型预测结果及残差对比

Fig. 5 Comparison of prediction results and residual errors for the four models

在4种模型中，DTCN 的综合性能最优。相较于 CNN，DTCN 的 RMSE 由 2.278×10-3 降低至1.418×10-3 ，相对降幅约 38% ，MAE 从 2.032×10-3降低至 1.153×10-3 ，降幅约 43% 。与 TCN 和 BiTCN相比，DTCN 在 RMSE 和 MAE 上仍有约 6%∼13%的下降，R2 提升至 0.976 。这表明，双尺度结构通过设置不同膨胀系数的并行卷积分支，能够分别提取短时扰动与长期漂移特征，从而更充分地刻画电流互感器误差的多时间尺度演化规律。
图5 给出了4类模型的预测结果及其残差对比。可以看出，4类模型总体上均能较好跟踪比差序列的变化趋势，但 DTCN 的预测曲线与真实值更为接近，且残差波动幅度整体较小，说明其预测精度和稳定性相对更优。相比之下，其余模型在局部波动区间的偏差更为明显。该结果进一步表明，双尺度结构能够更有效地提取误差序列中的多时间尺度特征，从而提升模型的综合预测性能。

3.4 CEEMD 分解对预测性能的提升验证

为验证 CEEMD 分解对非平稳序列建模性能的影响，本节以得到的 CEEMD 多通道序列作为输人，分别构建 CEEMD-CNN、CEEMD-TCN、CEEMD-BiTCN 和 CEEMD-DTCN 4 类模型。测试集上的点预测结果如表2所示。
与表1中未分解的结果相比，表2显示，引入CEEMD 后，各模型的 RMSE 和 MAE 均明显下降，R2 值整体提升。其中，CEEMD-DTCN 的 RMSE 和MAE 分别由 1.418×10-3 和 1.153×10-3 降低至 0.882×10-3 和 0.772×10-3 ，降幅约为 38% 和 33%, R2 由0.976 提升至 0.991 。结果表明，在多尺度卷积结构基础上引入 CEEMD 分解，能够进一步提升模型对非平稳误差序列的表征能力。具体而言，CEEMD 将原始序列分解为若干具有不同频率尺度特征的本征模态函数，使模型能够针对不同尺度成分进行分层建模，从而减轻单一尺度建模中模态混叠和局部高频扰动带来的影响。与未分解情形相比，CEEMD-CNN、CEEMD-TCN 和 CEEMD-BiTCN在 RMSE 指标上的相对改善约为20％~30％。在此基础上，CEEMD-DTCN 进一步通过双尺度卷积分支融合短时波动与长期变化特征，使点预测误差较 CEEMD-BiTCN 继续下降，表现出最优的综合性能。
表 2 基于CEEMD分解的不同模型点预测性能对比

Table 2 Point forecasting performance comparison of different models based on CEEMD decomposition

模型 评估指标
RMSE/ 10-3 MAE/ 10-3 R2
CEEMD-CNN 1.573 1.313 0.970
CEEMD-TCN 1.213 0.909 0.982
CEEMD-BiTCN 1.166 0.864 0.984
CEEMD-DTCN 0.882 0.772 0.991
图6展示了 CEEMD 分解前后不同模型预测值与真实值的对应关系。总体来看，引入 CEEMD后，各模型散点分布均向理想拟合线进一步靠拢，表明信号分解有助于提高模型预测结果与真实值的一致性。其中，CEEMD-DTCN 的散点分布最为集中，且整体最接近理想拟合线，说明其综合拟合效果最好。
综合表1、表2以及图5、图6的结果可以看出，在未进行信号分解时，DTCN已优于 CNN、TCN 和 BiTCN；在此基础上进一步引入 CEEMD后，各类模型的整体性能均得到提升，其中CEEMD-DTCN 在点预测精度和整体拟合效果方面表现最佳。该结果说明，＂信号分解 + 多尺度深度建模＂的组合适用于电流互感器误差这类非平稳、多尺度序列的预测任务。

3.5 Bootstrap 区间预测实验与结果分析

在完成 CEEMD-DTCN 模型点预测性能验证的基础上，本节进一步采用残差 Bootstrap 方法，对电流互感器比差预测结果进行区间不确定性量化。具体而言，以 CEEMD-DTCN 在测试集上的点预测序列为基准，利用残差分别构建2类预测区间：1）传统百分位 Bootstrap 区间（PB）；2）偏差校正百分位 Bootstrap 区间（ BC-PB）。在置信水平分别为 0.80、0.90、0.95 和 0.99 时，计算2类区间的预测区间覆盖率（PICP）、归一化平均区间宽度（PINAW）和平均区间得分（AIS），以比较其区间可靠性与紧致性。实验结果如表3、图7和图8所示。
图6 CEEMD分解前后不同模型拟合结果对比

Fig. 6 Comparison of prediction results of different models before and after CEEMD decomposition

表 3 不同 Bootstrap 区间方法的区间预测性能对比

Table 3 Comparison of interval forecasting performance among different Bootstrap-based methods

置信水平 方法 评估指标
PICP PINAW 区间得分
0.80 PB 0.7630 0.0615 0.1014
BC-PB 0.7986 0.0676 0.1008
0.90 PB 0.8863 0.0855 0.1278
BC-PB 0.8981 0.0890 0.1277
0.95 PB 0.9431 0.1079 0.1623
BC-PB 0.9455 0.1187 0.1618
0.99 PB 0.9858 0.1991 0.2533
BC-PB 0.9905 0.2170 0.2499
由表3可知，在4个置信水平下，BC-PB 的实际覆盖率均高于或更接近目标覆盖水平。在置信水平为0.80时，PB 的 PICP 为0.7630，低于目标值0.80，而BC-PB的PICP提升至0.7986；在置信水平为0.90和0.99时，BC-PB 的 PICP 分别达到 0.8981 和 0.990 5，相较 PB 的 0.8863 和 0.9858 ，进一步减小了覆盖偏差。总体来看，偏差校正后的 BC-PB 能够缓解传统百分位区间在残差分布偏斜或存在系统偏差时出现的覆盖不足问题，使实际覆盖率更接近目标覆盖水平，从而改善预测区间的校准效果。
与此同时，BC-PB 的 PINAW 相较 PB 略有增大，说明为了提高覆盖率，付出了区间宽度代价。例如，在置信水平为0.90时，PB的PINAW为0.0855 ，而 BC-PB 略增至 0.0890 ；在覆盖水平为0.95 时， PB 的 PINAW 为 0.1079,BC-PB 为 0.1187 ；在覆盖水平为0.99时，PB 的 PINAW 由 0.1991 增至 0.2170 。整体来看，BC-PB 通过适度扩大区间宽度换取更稳定的覆盖表现，从而在区间紧致性与可靠性之间取得折中。结合平均区间得分指标可以进一步看出，在4个置信水平下，BC-PB 的平均区间得分均略低于 PB 。例如，在覆盖水平为0.99时， PB 的 AIS 为 0.2533 ，而 BC-PB 降至0.249 9。这说明 BC-PB 在覆盖率与区间宽度之间取得了更优平衡。
从图7可知，PB 与 BC-PB 的预测区间均围绕真实比差序列分布，未出现明显单向偏移。以图7中 0.99 置信水平结果为例，BC-PB 区间相较于PB 有一定加宽，其双侧合计波动宽度约为0.0051%∼0.0083% ，约占对应真实比差点值的 10.1%∼18.5% 。该波动主要反映高置信水平下预测不确定性的增加，并未表现为比差水平的异常抬升。0.2级电流互感器允许比差限值 ±0.2% ，按照双侧合计波动宽度的最大值 0.0083% 计算，相当于允许比差限值绝对值 0.2% 的约 4.15% 。因此，图7所示预测区间基本不会改变该样本段内互感器满足 0.2 级准确度要求的判断。与此同时，真实比差曲线未出现相对于预测区间的连续越界、突发性大幅偏移或整体单向漂移，说明该监测时段内比差变化较为平稳，未表现出明显异常劣化趋势。
图7 CEEMD-DTCN Bootstrap 区间预测结果

Fig. 7 Bootstrap-based prediction intervals of the CEEMD-DTCN model

图8 不同置信水平下 PB 与 BC-PB 的归一化误差核密度估计分布对比

Fig. 8 Comparison of normalised error KDE distributions of PB and BC-PB under different confidence levels

图8给出了不同置信水平下 PB 与 BC-PB 的归一化误差核密度估计分布。图中，坚虚线 ± 1将样本划分为区间内与区间外两部分，其中，[-1，1]区间内的概率质量和区间外的尾部厚度分别反映区间覆盖表现与越界程度。可以看出，相较于PB，BC-PB 的分布更集中于 0 附近的单峰中心区域，在 [-1,1] 区间内呈现更高的概率质量；区间外尾部更弱，表明更多样本的归一化误差落在区间范围内，且越界样本的偏离程度有所减小。进一步地，随着置信水平的提高，2 种方法的分布均逐步向 0 附近集中，且差异有所减弱，但 BC-PB 仍保持更集中、且更靠近 0 的单峰分布特征。

4 结论

为提高电流互感器测量误差预测精度和区间预测可靠性，本文提出了一种融合 CEEMD、双尺度时序卷积网络和残差 Bootstrap 的测量误差区间预测方法，构建了偏差校正预测区间，并基于110 kV 变电站在线监测数据开展了算例分析。主要结论如下。
1）对原始比差序列进行 CEEMD 分解后，不同频率尺度成分得到更有效分离，模型对关键特征的表征能力明显增强，说明 CEEMD 有助于削弱高频噪声和模态混叠，为后续多尺度建模提供更平稳的输人基础。
2）在未进行信号分解时，DTCN的 RMSE、MAE 和 R2 分别为 1.418×10-3、1.153×10-3 和 0.976 ，较 CNN 的 2.278×10-3、 2.032×10-3 和 0.938 具有明显优势；引入 CEEMD 后，CEEMD-DTCN 的 RMSE和MAE进一步降至 0.882×10-3 和 0.772×10-3 ，较未分解 DTCN 分别再降低约 38% 和 33%,R2 提升至0.991 ，表明＂信号分解＋双尺度时序建模＂有助于改善非平稳误差序列的建模条件。
3）在区间预测方面，偏差校正残差 Bootstrap通过 B=3000 次中心化残差有放回重采样获得了更稳定的区间校准效果。在置信水平 0.80 、 0.90 、0.95 和 0.99 下，BC-PB 的 PICP 分别为 0.7986 、0.8981 、 0.9455 和 0.9905 ，均高于或更接近对应的 PB 结果；其中在 0.99 水平下，AIS 由 0.2533 降至0.2499，说明所提方法在保证区间可靠性的同时兼顾了区间宽度与综合得分。
下一步研究工作将结合更多运行工况、不同设备状态和更长时间跨度的在线监测数据，对模型泛化能力和工程实时应用性能进行进一步验证。

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