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2026 , Vol. 59 >Issue 8: 237 - 252

DOI: https://doi.org/10.11930/j.issn.1004-9649.202602046

Original article

Mechanism-data fusion driven modeling for integrated energy systems under incomplete information

  • Yifan YANG , 1 ,
  • Zhaoyan LIU 2, 3 ,
  • Fangyuan SI , 1 ,
  • Yanna XI 2, 3 ,
  • Yin XU , 1 ,
  • Xiao LI , 2, 3 ,
  • Xiaojun WANG , 1
Expand
  • 1 School of Electrical Engineering， Beijing Jiaotong University， Beijing 100044， China
  • 2 State Grid Beijing Electric Power Company， Beijing 100031， China
  • 3 Beijing Electric Power Economic and Technological Research Institute Co.， Ltd.， Beijing 100055， China

Received date: 2026-02-27

  Revised date: 2026-07-15

  Online published: 2026-09-04

Supported by

Science and Technology Project of SGCC(520201250010-075-ZN）)

Fold

Abstract

To address the incomplete information problems commonly existing in the actual operation of integrated energy systems（IES），such as sparse observation and missing measurement data，this paper proposes an adaptive physics- informed neural network（APINN）-driven mechanism-data fusion modeling method.Firstly，a unified mechanism-data fusion network framework is constructed，which embeds multi- energy flow physical mechanisms，including power flow of power grids，fluid dynamics of natural gas pipelines，and thermodynamics of heating pipelines，into the training objective in the form of residuals，and establishes observation consistency constraints with a small number of anchor measurements to alleviate convergence difficulties caused by non-unique solution space and trivial solutions in pure physics-informed training.Secondly，a loss amplitude-aware adaptive weight adjustment mechanism is designed to dynamically optimize gradient weights of multi-physics field learning tasks， effectively resolving model optimization imbalance caused by dimensional mismatch across multiple physics fields.Finally， numerical validation on an electricity-gas-heat coupled IES consisting of an IEEE 24-bus power system，a 20-node natural gas system and a 16-node heating system shows that the proposed method achieves stable global state reconstruction with favorable physical consistency and anti-disturbance robustness.

Key words： integrated energy system; incomplete information; physics-informed neural network; mechanism-data fusion

Cite this article

Yifan YANG , Zhaoyan LIU , Fangyuan SI , Yanna XI , Yin XU , Xiao LI , Xiaojun WANG . Mechanism-data fusion driven modeling for integrated energy systems under incomplete information[J]. Electric Power, 2026 , 59(8) : 237 -252 . DOI: 10.11930/j.issn.1004-9649.202602046

0 引言

随着能源互联网与＂双碳＂目标推进，综合能源系统（integrated energy system，IES）通过热电联产（ combined heat and power unit，CHP）、电转气（power-to-gas，P2G）等耦合环节实现电-气-热多能流协同，是提升能效与支撑低碳转型的重要载体  [1] 。与单一电力系统不同，IES 同时包含电、气、热等多个子系统，一旦某个局部环节出现异常，风险就可能沿着耦合链条向其他环节传导  [2] ，这对系统运行状态的感知和判断提出了更高要求  [3] 。
高精度物理模型与可信实时状态是分析 IES问题的核心基础  [4] 。传统状态估计方法难以满足IES 对建模精度、状态感知及运行鲁棒性的多重要求  [5] 。一方面，电-气-热多能流耦合机理具有强非线性特征  [6] ，工程实践中为保障模型可计算性，往往需要采用简化建模方式或忽略部分动态过程与不确定因素，进而导致建模精度、运行鲁棒性与数值可计算性均难以兼顾  [7] ；另一方面，现有量测体系存在 3 类问题：1）量测点不全，关键节点和空间区域覆盖不足，导致大量状态变量无法直接实时观测；2）数据容易出现质量问题，实际数据中常常存在噪声、漂移、失真、坏点等，直接影响量测可信度；3）数据异步，不同系统采样频率不一致，叠加通信时延和丢包，最终带来明显的时序不一致  [8] 。因此亟须解决的不只是＂有没有量测＂的问题，而是如何在量测不完整、数据不理想的条件下，依然能够恢复出一个全局高质量、可用于分析和决策的系统状态的问题。
现有状态估计方法大体分为机理驱动与数据驱动 2 类  [9] 。机理驱动的状态估计方法以能量守恒关系和网络方程为基础，依赖较为准确的系统模型参数与充分的量测冗余，通过求解多能流网络平衡关系实现状态重构  [10] ，但在参数难获、量测缺失与动态刻画不足时容易出现偏差累积与适用范围受限的问题  [11] 。数据驱动方法  [12] ，如 CNN-LSTM  [13] 、多任务 LSTM  [14] 等，在预测与部分估计任务上表现良好，但通常依赖大量高质量标签数据，且黑箱特性使得物理一致性与可解释性较弱，难以满足安全可信需求。
物理信息神经网络（physics-informed neural network，PINN）将物理方程残差嵌入损失函数，实现了物理机理与观测数据的深度融合。即便在观测稀疏、噪声干扰的场景下，该方法仍能精准重构状态，确立了不完全信息建模与感知的新范式  [15] 。传统 PINN 直接用于电-气-热多能耦合 IES时  [16] ，由于量纲差异过大与多时间尺度并存易产生多任务损失失衡与优化冲突  [17] ，需要通过结构与训练策略协同改进  [18] 。
对于 IES 来说，状态估计问题已经不能只看成传统的数值求解问题，而是一个同时面向稀疏性、噪声性、异步性和多能耦合性的复杂建模难题  [19] ，需要引入机理与数据融合的方法，来提升状态重构的鲁棒性和泛化能力。本文所研究的状态重构，以少量观测信息、系统拓扑结构与物理机理约束为核心支撑，完成对系统未观测区域运行状态的全域补全与精准恢复，提出一种面向不完全信息条件的自适应物理信息神经网络（ada-ptive physics-informed neural network，APINN）建模方法，并在 IEEE 24 节点电力系统、 20 节点天然气系统与16节点热力系统耦合算例上进行方法有效性验证。

1 综合能源系统物理建模

1.1 电网系统模型

电力系统配置了传统的燃煤火电机组（thermal unit，TU）提供基础负荷支撑、燃气轮机（gas turbine，GT），以及热电联产（combined heat and power，CHP）适配综合能源系统的多能互补特性，实现气-电与热-电耦合。
本文采用交流潮流方程描述电力网络的物理特性，具体数学表达为
$\begin{array}{c}{\mathit{P}}_{\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{U}}_{\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)\sum _{\mathit{j}\in {\mathrm{\Omega }}_{\mathit{i}}}  {\mathit{U}}_{\mathit{j}}\left(\mathit{t}\right)\left({\mathit{G}}_{\mathit{i}\mathit{j}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}\mathit{j}}\left(\mathit{t}\right)+{\mathit{B}}_{\mathit{i}\mathit{j}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}\mathit{j}}\left(\mathit{t}\right)\right)\end{array}$
$\begin{array}{c}{\mathit{Q}}_{\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{U}}_{\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)\sum _{\mathit{j}\in {\mathrm{\Omega }}_{\mathit{i}}}  {\mathit{U}}_{\mathit{j}}\left(\mathit{t}\right)\left({\mathit{G}}_{\mathit{i}\mathit{j}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}\mathit{j}}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{B}}_{\mathit{i}\mathit{j}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}\mathit{j}}\left(\mathit{t}\right)\right)\end{array}$
式中：Pi(t) 为时刻 t 节点 i 向电网注入的有功功率；Qi(t) 为时刻 t 节点 i 向电网注入的无功功率；Ui(t)为时刻 t 节点 i 的电压幅值；Uj(t) 为时刻 t 节点 j 的电压幅值；Ωi 为与节点 i 相连的节点集合；θij(t) 为节点 i 与节点 j 之间的电压相角差；Gij、Bij 分别为节点 i、j 间导纳矩阵元素的电导和电纳。
在本文 APINN 框架中，式（1）（2）用于构造节点潮流一致性残差  [20] 。APINN 网络输出的机组出力与已知负荷共同确定节点净注入功率，而输出的节点电压、相角经交流潮流方程可计算得到对应的潮流注入，二者在物理上应保持一致。
为保证电网运行的安全性与可行性，系统状态变量需要满足若干不等式约束。其中，节点电压幅值应处于安全区间，即
$\begin{array}{c}{\mathit{U}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}⩽{\mathit{U}}_{\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)⩽{\mathit{U}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\end{array}$
式中： ${\mathit{U}}_{\mathit{i}}^{\text{max}\text{ }}\mathrm{、}{\mathit{U}}_{\mathit{i}}^{\text{min}\text{ }}$ 分别为节点 i 电压上下限。
各类发电机组的有功出力 Pgen ,k 和无功出力Qge,k 受到机组物理爬坡能力和容量的限制，即
$\begin{array}{c}{\mathit{P}}_{\mathit{k}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}⩽{\mathit{P}}_{\text{gen}\text{ },\mathit{k}}\left(\mathit{t}\right)⩽{\mathit{P}}_{\mathit{k}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\end{array}$
$\begin{array}{c}{\mathit{Q}}_{\mathit{k}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}⩽{\mathit{Q}}_{\text{gen}\text{ },\mathit{k}}\left(\mathit{t}\right)⩽{\mathit{Q}}_{\mathit{k}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\end{array}$
$\begin{array}{c}\left|\frac{\mathrm{d}{\mathit{P}}_{\text{gen}\text{ },\mathit{k}}\left(\mathit{t}\right)}{\mathrm{d}\mathit{t}}\right|⩽{\mathit{R}}_{\mathit{k}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\end{array}$
式中： ${\mathit{P}}_{\mathit{k}}^{\text{max}\text{ }}\mathrm{、}{\mathit{P}}_{\mathit{k}}^{\text{min}\text{ }}$ 分别为第 k 台机组的最大、最小有功功率； ${\mathit{Q}}_{\mathit{k}}^{\text{max}\text{ }}\mathrm{、}{\mathit{Q}}_{\mathit{k}}^{\text{min}\text{ }}$ 分别为第 k 台机组的最大、最小无功功率； ${\mathit{R}}_{\mathit{k}}^{\text{max}\text{ }}$ 为第 k 台机组的最大爬坡速率。爬坡约束不同于节点电压或机组出力上下限等值域约束，其对象为机组出力对时间的变化率，而非某一时刻输出变量本身的取值。本文采用自动微分计算，将爬坡约束通过残差项构造成损失函数的一部分，对机组动态调节过程施加有效约束。
最后，对于系统中的每一个节点，其源荷净注入功率应严格等于网络传输功率，即
$\begin{array}{c}\mathit{ }\sum _{\mathit{k}\in {\mathit{G}}_{\mathit{i}}}  {\mathit{P}}_{\text{gen}\text{ },\mathit{k}}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{P}}_{\text{load}\text{ },\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{P}}_{\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)=0\end{array}$
$\begin{array}{c}\mathit{ }\sum _{\mathit{k}\in {\mathit{G}}_{\mathit{i}}}  {\mathit{Q}}_{\text{gen}\text{ },\mathit{k}}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{Q}}_{\text{load}\text{ },\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{Q}}_{\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)=0\end{array}$
式中：Gi 为接入节点 i 的发电机集合；Pload ,i(t) 、Qload ,i(t) 分别为时刻 t 节点 i 的有功和无功负荷需求。

1.2 天然气网络模型

天然气网络包含气源、输气管道及各类终端气负荷。不同于电力传输，天然气在长距离管道传输中具有显著的可压缩性和动态延迟特性。本文在保留质量守恒动态项以表征节点管存效应的同时，在动量方程处理中忽略长周期惯性项，并进一步采用 Weymouth 关系描述管段压力—流量主导约束。该处理适用于调度周期尺度下源荷变化相对平缓、快速惯性效应不占主导的运行场景。
气体在管道内的状态演化遵循质量守恒和动量守恒定律。对于任意管道，其流体状态变量密度 ρ 、流速 v 、压力 p 随时间 t 和空间位置 x 的变化关系为
$\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathit{\rho }}{\partial \mathit{t}}+\frac{\partial \left(\mathit{\rho }\mathit{v}\right)}{\partial \mathit{x}}=0\\ \frac{\partial \left(\mathit{\rho }\mathit{v}\right)}{\partial \mathit{t}}+\frac{\partial \left(\mathit{\rho }{\mathit{v}}^{2}\right)}{\partial \mathit{x}}+\frac{\partial \mathit{p}}{\partial \mathit{x}}+\frac{\mathit{\lambda }\mathit{\rho }\mathit{v}\left|\mathit{v}\right|}{2\mathit{d}}=0\end{array}\right.\end{array}$
式中：d 为管道直径；λ 为摩擦系数。
对于质量守恒方程，使用线法策略将连续的空间域 x 离散化为若干个网格点，利用散度算子替代空间导数项，保留时间导数项，利用理想气体状态方程，将密度变化转化为压力变化，推导出描述动态管存的常微分方程为
$\begin{array}{c}\sum _{\mathit{u}\in {\mathit{N}}_{\mathit{i}}^{\text{in}\text{ }}}  {\mathit{m}}_{\mathit{u}\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)-\sum _{\mathit{w}\in {\mathit{N}}_{\mathit{i}}^{\text{out}\text{ }}}  {\mathit{m}}_{\mathit{i}\mathit{w}}\left(\mathit{t}\right)+{\mathit{m}}_{\mathit{i}}^{\text{src}\text{ }}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{m}}_{\mathit{i}}^{\text{load}\text{ }}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{K}}_{\text{pack}\text{ },\mathit{i}}\frac{\text{ }\mathrm{d}{\mathit{p}}_{\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)}{\mathrm{d}\mathit{t}}\end{array}$
式中：u 为节点 i 的上游节点编号；w 为节点 i 的下游节点编号； ${\mathit{N}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{i}\mathrm{n}}$ 为所有向节点 i 输送天然气的上游节点集合； ${\mathit{N}}_{\mathit{i}}^{\text{out}\text{ }}$ 为所有向节点 i 输送天然气的下游节点集合；mui(t) 为上游节点 u 流入节点 i 的管道质量流量；miw(t) 为节点 i 流向下游节点 w 的管道质量流量； ${\mathit{m}}_{\mathit{i}}^{\text{src}\text{ }}\left(\mathit{t}\right)$ 为节点 i 的气源注入质量流量； ${\mathit{m}}_{\mathit{i}}^{\text{load}\text{ }}\left(\mathit{t}\right)$为节点 i 的天然气负荷所需的质量流量；Kpack ,i 为节点 i 管存系数； $\frac{\mathrm{d}{\mathit{p}}_{\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)}{\mathrm{d}\mathit{t}}$ 为节点压力的时间导数，该项从物理上表征了由压力波动引起的管存质量变化速率，反映气网的储能特性。
利用有限差分思想，忽略长周期的惯性项，将空间压力梯度转化为首末端压力平方差，推导得出描述稳态压力-流量关系的 Weymouth 代数方程为
$\begin{array}{c}{\mathit{f}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{2}\left(\mathit{t}\right)\mathit{s}\mathit{g}\mathit{n}\left({\mathit{f}}_{\mathit{i}\mathit{j}}\right)={\mathit{C}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{2}\left({\mathit{p}}_{\mathit{i}}^{2}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{p}}_{\mathit{j}}^{2}\left(\mathit{t}\right)\right)\end{array}$
式中：fij(t) 为流经管道 (i,j) 的平均质量流量； sgn(⋅)为符号函数，用于指示气体流动方向；pi(t) 和pj(t) 分别为管道（ i,j ）首端和末端的节点压力；Cij 为管道（ i,j ）传输常数。
本文将气源注入与燃气机组负荷作为边界条件项引入系统求解。GT 和 CHP 的耗气量作为耦合边界，天然气消耗速率严格取决于机组的实时运行状态，耦合关系建模为
$\begin{array}{c}{\mathit{L}}_{\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{s},\mathit{i}}^{\mathrm{G}\mathrm{T}}\left(\mathit{t}\right)=\frac{{\mathit{P}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{G}\mathrm{T}}\left(\mathit{t}\right)}{{\mathit{\eta }}_{\mathrm{G}\mathrm{T}}{\mathit{H}}_{\mathrm{G}\mathrm{V}}}\end{array}$
$\begin{array}{c}{\mathit{L}}_{\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{s},\mathit{i}}^{\mathrm{C}\mathrm{H}\mathrm{P}}\left(\mathit{t}\right)=\frac{1}{{\mathit{H}}_{\mathrm{G}\mathrm{V}}}\left(\frac{{\mathit{P}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{C}\mathrm{H}\mathrm{P}}\left(\mathit{t}\right)}{{\mathit{\eta }}_{\mathrm{e}}^{\mathrm{C}\mathrm{H}\mathrm{P}}}+\frac{{\mathit{Q}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{C}\mathrm{H}\mathrm{P}}\left(\mathit{t}\right)}{{\mathit{\eta }}_{\mathrm{h}}^{\mathrm{C}\mathrm{H}\mathrm{P}}}\right)\end{array}$
式中： ${\mathit{L}}_{\text{gas}\text{ },\mathit{i}}^{\mathrm{G}\mathrm{T}}\left(\mathit{t}\right)\mathrm{、}{\mathit{L}}_{\text{gas}\text{ },\mathit{i}}^{\mathrm{C}\mathrm{H}\mathrm{P}}\left(\mathit{t}\right)$ 分别为节点 i 处 GT 和 CHP机组在时刻 t 的天然气消耗流量； ${\mathit{P}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{G}\mathrm{T}}\left(\mathit{t}\right)\mathrm{、}{\mathit{P}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{C}\mathrm{H}\mathrm{P}}\left(\mathit{t}\right)$分别为 GT 和 CHP 机组的有功发电功率； ${\mathit{Q}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{C}\mathrm{H}\mathrm{P}}\left(\mathit{t}\right)$为 CHP 机组的产热功率；ηGT 为燃气轮机的发电效率； ${\mathit{\eta }}_{\mathrm{e}}^{\mathrm{C}\mathrm{H}\mathrm{P}}\mathrm{、}{\mathit{\eta }}_{\mathrm{h}}^{\mathrm{C}\mathrm{H}\mathrm{P}}$ 分别为 CHP 机组的产电效率和产热效率；HGV 为单位质量天然气完全燃烧时能够释放并被利用的热能。

1.3 热力网络模型

热力网络由热源、供回水管网及各换热站构成。考虑到本文关注在不完全观测条件下的状态重构，并兼顾 APINN 训练的可行性与收敛性，假设调度周期内各支路流量与比热容近似恒定；同时，采用指数衰减形式刻画供水温度沿程热损，并利用一阶惯性模型描述节点供水温度向环境温度回归的慢动态过程。上述处理适用于热网大惯性、温度缓变、流量波动较小且主要依靠温度调节的典型工况。
对任意热网节点 i ，设其供水温度与回水温度分别为 ${\mathit{T}}_{\mathit{i}}^{\text{sup}\text{ }}\left(\mathit{t}\right)$ 与 ${\mathit{T}}_{\mathit{i}}^{\text{ret}\text{ }}\left(\mathit{t}\right)$ ，则在定流量假设下，节点的热功率 ${\mathit{Q}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{t}\mathrm{h}}\left(\mathit{t}\right)$ 与供回水温差的量热关系为
$\begin{array}{c}{\mathit{Q}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{t}\mathrm{h}}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{C}}_{\mathrm{m}}\left({\mathit{T}}_{\mathit{i}}^{\text{sup}\text{ }}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{T}}_{\mathit{i}}^{\text{ret}\text{ }}\left(\mathit{t}\right)\right)\end{array}$
式中：Cm 为等效热容流率。
节点的热量注入与热负荷可表示为
$\begin{array}{c}{\mathit{Q}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{t}\mathrm{h}}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{Q}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j}}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{Q}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left(\mathit{t}\right)\end{array}$
式中： ${\mathit{Q}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j}}\left(\mathit{t}\right)$ 为热源节点的热功率注入； ${\mathit{Q}}_{\mathit{i}}^{\text{load}\text{ }}\left(\mathit{t}\right)$ 为换热站的取热需求。
联立式（14）（15），得到节点量热平衡方程为
$\begin{array}{c}{\mathit{C}}_{\mathrm{m}}\left({\mathit{T}}_{\mathit{i}}^{\text{sup}\text{ }}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{T}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}\left(\mathit{t}\right)\right)-\left({\mathit{Q}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j}}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{Q}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left(\mathit{t}\right)\right)=0\end{array}$
热水在管道中传输会产生对环境的散热损失，为在缺乏完整水力参数的条件下仍可对温度沿网传播提供有效约束，采用指数衰减形式描述供水温度在管段 (i,j) 上的空间衰减关系为
$\begin{array}{c}{\mathit{T}}_{\mathit{j}}^{\text{sup}\text{ }}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{T}}_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}+\left({\mathit{T}}_{\mathit{i}}^{\text{sup}\text{ }}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{T}}_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)\mathit{e}\mathit{x}\mathit{p}\left(-\frac{\mathit{q}{\mathit{L}}_{\mathit{i}\mathit{j}}}{{\mathit{C}}_{\mathrm{m}}}\right)\end{array}$
式中：Tamb 为环境温度；q 为等效热损失系数；Lij 为管段长度。
在调度周期内，供水温度还表现为向环境温度回归的缓慢动态过程。本文采用一阶惯性形式刻画节点供水温度，可简化动态过程为
$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}{\mathit{T}}_{\mathit{i}}^{\text{sup}\text{ }}\left(\mathit{t}\right)}{\mathrm{d}\mathit{t}}+\mathit{q}\left({\mathit{T}}_{\mathit{i}}^{\text{sup}\text{ }}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{T}}_{\text{amb}\text{ }}\right)=0\end{array}$
为保证热网运行安全性，供回水温度需要满足的运行区间约束为
$\begin{array}{c}{\mathit{T}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}⩽{\mathit{T}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left(\mathit{t}\right)⩽{\mathit{T}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}},{\mathit{T}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}⩽{\mathit{T}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}\left(\mathit{t}\right)⩽{\mathit{T}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}\end{array}$
式中： ${\mathit{T}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{\text{sup}\text{ }}\mathrm{、}{\mathit{T}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{\text{sup}\text{ }}$ 分别为供水温度的最大值与最小值； ${\mathit{T}}_{\text{max}\text{ }}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}\mathrm{、}{\mathit{T}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}$ 分别为回水温度的最大值与最小值。

2 APINN 网络求解与训练策略

2.1 APINN 网络架构

针对综合能源系统电-气-热三网耦合、物理约束呈非凸特性的运行特征，本节构建了一种物理先验嵌入的生成式神经网络架构，如图 1 所示。
图1 物理-数据融合驱动的神经网络架构

Fig. 1 Physics-data fusion driven neural network architecture

2.1.1 输入层

综合能源系统的运行状态是由大量物理参数构成的高维向量空间，然而受物理定律的约束，系统状态的有效自由度低。
传统的综合能源系统仿真通常采用有网格的欧拉法在离散的时间网格上进行数值迭代求解。这种方法不仅受到时间步长 Δt 的精度限制，而且容易因截断误差累积导致发散。为克服这一局限，文献[21]提出基于无网格的连续时间域建模办法。在训练过程中，输人时间 t 是在连续域 Ωt 内进行随机配点采样获得的。这表明网络不是在记忆特定离散时刻的状态，而是在函数空间内逼近系统状态随时间演化的连续解析解  [22] 。采用这种时间域无网格的求解策略，可将求解过程重构为从低维时序坐标到高维状态的非线性映射问题  [23] 。
在 APINN 训练过程中，边界条件并非以单一形式施加，而是依据其物理角色分别进入网络求解与损失构造。具体而言，本文将训练中使用的边界信息划分为4类：1）参考边界，包括电网参考母线的电压幅值与相角基准、气源节点的压力或注入条件、热源节点的热功率及供回水温度；2）时变负荷边界，包括电网节点有功、无功负荷、气网节点提取流量以及热网换热站取热需求；3）跨能流耦合边界，包括 GT 与 CHP 的耗气量、CHP 的产热量等由耦合设备运行状态派生得到的边界量；4）观测辅助定解信息，包括观测节点量测、区间边界及统计参考值。

2.1.2 隐藏层

综合能源系统中，电、热、气网虽然遵循不同的物理传输定律，但通过能量转换设备存在着深度的时空耦合  [24] 。因此，系统中各个子系统使用参数共享的神经网络，共享权重和偏差来捕捉电、热、气网的耦合关系  [25] 。
针对综合能源系统多能流耦合、状态维数高且变量关联复杂的特点，隐藏层设计为全连接参数共享网络。通过特征维度的扩展与压缩，既实现了对系统关键运行特征的表达，也完成了跨子系统的全局特征共享。在主干网络中采用双曲正切函数作为激活函数  [26] ，利用其零中心、平滑可导的特点，提升网络对非线性耦合关系的表征能力与训练稳定性。与传统物理-数据融合神经网络在输出端采用单一线性映射的处理方式不同  [27] ，本文根据运行约束的作用对象与物理特性差异，设计了物理感知的多头异构解码机制。
具体而言，本文将系统运行约束划分为 2 类：1）状态值域类约束，此类约束直接限定状态变量的物理可行取值区间，包括节点电压、机组出力上下限、管网气压区间、热网介质温度区间等；2）动态导数类约束，其作用于状态变量随时间的变化速率，典型代表为机组爬坡约束。表1所设计的差异化激活与硬约束映射策略仅适配状态值域类约束；动态导数类约束通过自动微分构造违约损失项的方式进行处理。
表 1 差异化激活函数与硬约束映射策略

Table 1 Heterogeneous activation and hard constraint mapping strategy

物理变量 原始输出 激活函数 映射公式
节点电压 Ui ${\mathit{z}}_{\mathit{i}}^{\mathit{U}}$ Sigmoid ${\mathit{U}}_{\mathit{i}}={\mathit{U}}_{\mathit{i}}^{\text{min}\text{ }}+\left({\mathit{U}}_{\mathit{i}}^{\text{max}\text{ }}-{\mathit{U}}_{\mathit{i}}^{\text{min}\text{ }}\right)\mathit{\sigma }\left({\mathit{z}}_{\mathit{i}}^{\mathit{U}}\right)$
机组有功 Pg,u ${\mathit{z}}_{\mathit{u}}^{\mathit{P}}$ Sigmoid ${\mathit{P}}_{\mathrm{g},\mathrm{u}}={\mathit{P}}_{\mathrm{g},\mathrm{u}}^{\text{min}\text{ }}+\left({\mathit{P}}_{\mathrm{g},\mathrm{u}}^{\text{max}\text{ }}-{\mathit{P}}_{\mathrm{g},\mathrm{u}}^{\text{min}\text{ }}\right)\mathit{\sigma }\left({\mathit{z}}_{\mathit{u}}^{\mathit{P}}\right)$
节点压力 pi ${\mathit{z}}_{\mathit{i}}^{\mathit{p}}$ Softplus ${\mathit{p}}_{\mathit{i}}={\mathit{p}}_{\mathit{i}}^{\text{min}\text{ }}+\left({\mathit{p}}_{\mathit{i}}^{\text{max}\text{ }}-{\mathit{p}}_{\mathit{i}}^{\text{min}\text{ }}\right)\mathit{\sigma }\left({\mathit{z}}_{\mathit{i}}^{\mathit{p}}\right)$
相角 θi ${\mathit{z}}_{\mathit{i}}^{\mathit{\theta }}$ Tanh ${\mathit{\theta }}_{\mathit{i}}={\mathit{c}}_{\mathit{\theta }}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left({\mathit{z}}_{\mathit{i}}^{\mathit{\theta }}\right)$
回水温度 ${\mathit{T}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}$ ${\mathit{z}}_{\mathit{i}}^{\text{sup}\text{ }},{\mathit{z}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{\Delta }\mathit{T}}$ Softplus ${\mathit{T}}_{\mathit{i}}^{\text{ret}\text{ }}={\mathit{T}}_{\mathit{i}}^{\text{sup}\text{ }}-\mathrm{\Delta }{\mathit{T}}_{\mathit{i}}$
爬坡约束 - - 不采用输出层映射
对于电压与有功功率等区间有界变量，采用Sigmoid 激活函数配合线性缩放，确保生成结果严格落在设备安全运行边界内；对于气压、温度及气源流量等半正定变量，利用 Softplus 函数的平滑非负特性，在保证物理量非负的同时，避免传统 ReLU 函数在零点的梯度消失问题，确保流体动力学方程中高阶导数的计算精度；对于无功功率与相角等双极性变量，保留 Tanh 激活以适应其在实数域内的双向波动特性。

2.1.3 输出层

为了解决综合能源系统中各状态变量量级差异巨大导致的优化难题，在输出层构建了基于仿射变换的物理恢复策略。将隐藏层输出的共享流形特征向量，根据物理定义的正交性，解耦为独立的分支通道。每个通道独立配置激活函数，将无约束的潜在变量投影至符合物理定律的基础可行域。
输出层设置基于工程经验的偏置修正来加速模型收敛。以电力系统为例，电网节点电压通常在1.0p.u.附近波动，模型通过线性平移操作，将初始搜索空间的中心标定在系统额定运行点附近。这种做法避免了神经网络从零点开始盲目搜索，减少了冷启动阶段的迭代次数。

2.1.4 多物理量的标么化与归一化处理

在综合能源系统中，电压、功率、相角、气压、流量、温度以及时间坐标等变量在物理量纲和数值量级上存在显著差异。若直接采用原始物理量进行神经网络建模并参与残差项计算，容易导致训练过程中出现梯度传播失衡、数值振荡以及局部子系统残差主导优化的问题，从而削弱模型对电—气 —热多能流耦合机理的协同学习能力。本文针对电-气-热多物理量构建了分层次的尺度归一化处理策略，如表2所示。具体而言，在网络输入阶段，对时间坐标进行区间归一化；在网络输出阶段，对电网、气网和热网状态变量结合激活函数与映射机制进行尺度恢复，使其回到真实物理范围；在残差构造阶段，基于恢复后的物理变量直接计算各子系统机理残差，以保证残差项的物理意义并保持原始机理方程形式不变。
表2 电-气-热分层次的尺度归一化处理策略

Table 2 Hierarchical scale normalization strategy for electricity-gas-heat systems

处理环节 处理对象 处理方式
网络输人 时间坐标 区间归一化
网络输出 电网、气网、热网状态变量 结合激活函数与映射恢复至真实物理范围
残差构造 电网、气网、热网机理残差 由恢复后的物理变量直接计算，不改变机理方程原始量纲

2.1.5 边界条件的统一建模与施加策略

边界条件在 APINN 中承担2类作用：1）用于提供系统定解所需的参考信息，抑制解空间的非唯一性；2）用于刻画外部驱动及跨能流耦合关系，决定系统状态的动态演化方向。
对于电力系统，参考母线的电压幅值与相角基准作为电网定解边界；各节点时变有功、无功负荷作为外部驱动边界，与网络输出的发电机组出力共同构成节点净注入功率，并直接进入潮流平衡残差计算。
对于天然气系统，气源节点的压力或注入流量构成源端边界，终端气负荷提取构成需求边界；同时，GT 和 CHP 的耗气量并非独立给定，而是由对应设备的发电功率和产热功率经能量转换关系得到，因此本质上属于跨子系统传递的耦合边界。
对于热力系统，热源节点热功率注入及供回水温度构成热网源端边界，换热站取热需求构成负荷边界；其中，若热源由 CHP 提供，则热功率由耦合设备运行状态计算得到。热源边界与热负荷边界共同进入热源量热平衡、节点动态响应及管段温度衰减残差，从而约束热网运行。

2.2 物理正则化项与数据约束的耦合

在物理信息-数据融合驱动的框架下，神经网络的训练是一个在数据拟合与物理一致之间寻求平衡的参数寻优过程  [28] ，正则化优化机制如图2所示。总损失函数 L(θ) 为
$\begin{array}{rrr}\mathit{L}\left(\mathit{\theta }\right)={\mathit{\lambda }}_{\text{data}\text{ }}{\mathit{L}}_{\text{data}\text{ }}+{\mathit{\lambda }}_{\text{elec}\text{ }}{\mathit{L}}_{\text{elec}\text{ }}+{\mathit{\lambda }}_{\text{gas}\text{ }}{\mathit{L}}_{\text{gas}\text{ }}+{\mathit{\lambda }}_{\text{heat}\text{ }}{\mathit{L}}_{\text{heat}\text{ }}+{\mathit{\lambda }}_{\text{ineq}\text{ }}{\mathit{L}}_{\text{ineq}\text{ }}& \text{(20)}\end{array}$
式中：Ldata  为观测一致性损失，用于度量网络预测值与观测节点量测值之间的偏差；Lelec 、Lgas  和Lheat  分别为电力系统、天然气系统和热力系统的物理残差损失，用于约束网络输出满足相应子系统的物理方程；Lineq  为运行约束损失； ${\mathit{\lambda }}_{\text{data}\text{ }}\mathrm{、}{\mathit{\lambda }}_{\text{elec}\text{ }}\mathrm{、}{\mathit{\lambda }}_{\text{gas}\text{ }}\mathrm{、}{\mathit{\lambda }}_{\text{heat}\text{ }}$ 和 λineq  分别为各项损失对应的非负权重系数，用于平衡不同训练任务对总损失的贡献。
图2 APINN 物理正则化优化机制

Fig. 2 Physics-regularized optimization mechanism of APINN

2.2.1 观测一致性损失 Ldata 

尽管物理正则化项能够约束网络输出满足能量守恒与能量传输的基本机理，但在不完全信息场景下，若模型训练完全依赖物理方程驱动，仍易出现解空间非唯一、收敛至平凡解等问题。为此，本文在少量可获取实测数据的观测节点处引入观测一致性损失项，通过最小化网络预测值与观测值的偏差，实现对当前运行工况场景的针定，有效提升状态重构问题的可识别性。该项损失定义为网络预测值 $\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{y}}$ 与真实观测值 yreq ,k 之间的均方误差，即
$\begin{array}{c}{\mathit{L}}_{\text{data}\text{ }}=\frac{1}{\left|{\mathit{D}}_{\text{profile}\text{ }}\right|}\sum _{(\mathit{t},\mathit{k})\in {\mathit{D}}_{\text{profile}\text{ }}}  {‖{\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{y}}}_{\mathit{k}}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{y}}_{\text{req}\text{ },\mathit{k}}\left(\mathit{t}\right)‖}_{2}^{2}\end{array}$
式中：Dprofile  为已知运行数据的采样集合，包含所有已知时间点 t 和对应物理变量索引 $\mathit{k};\left|{\mathit{D}}_{\text{profile}\text{ }}\right|$为集合 Dprofile  中采样点的总数量。

2.2.2 电力系统物理残差损失 Lelec 

电力系统作为综合能源系统的核心能量传输枢纽，需要严格遵循基于基尔霍夫定律构建的非线性交流潮流方程  [29] 。
在传统的数值计算中，式（7）（8）定义了节点功率平衡的约束，即节点的净注入功率必须严格等于网络传输功率。
本文将节点注入功率 2 种物理表征之间的差值作为潮流一致性约束依据。其中，一种表征为由网络输出的机组出力与已知负荷共同形成的节点净注入功率；另一种表征为由网络输出的节点电压、相角结合交流潮流方程计算得到的潮流注入。二者在物理上应保持一致，其有功、无功残差经均方聚合后构成电力系统物理损失，即
$\begin{array}{c} L_{elec}=\frac{1}{N_{bus}}\sum _{i=1}^{N_{bus}}  [{(P_{gen,i}-P_{load,i}-P_{pf,i})}^{2}+{(Q_{gen,i}-Q_{load,i}-Q_{pf,i})}^{2}]\end{array}$
式中：Nbus  为母线数量；Ppf,i 和 Qpf,i 分别为基于当前神经网络预测的状态变量及网络拓扑参数计算得到的潮流注入值。依据极坐标形式的交流潮流方程，其具体计算式为
$\begin{array}{c}{\mathit{P}}_{\mathrm{p}\mathrm{f},\mathit{i}}={\mathit{U}}_{\mathit{i}}\sum _{\mathit{j}\in \mathit{i}}  {\mathit{U}}_{\mathit{j}}\left({\mathit{G}}_{\mathit{i}\mathit{j}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}\mathit{j}}+{\mathit{B}}_{\mathit{i}\mathit{j}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}\mathit{j}}\right)\end{array}$
$\begin{array}{c}{\mathit{Q}}_{\mathrm{p}\mathrm{f},\mathit{i}}={\mathit{U}}_{\mathit{i}}\sum _{\mathit{j}\in \mathit{i}}  {\mathit{U}}_{\mathit{j}}\left({\mathit{G}}_{\mathit{i}\mathit{j}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}\mathit{j}}-{\mathit{B}}_{\mathit{i}\mathit{j}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}\mathit{j}}\right)\end{array}$
在此约束下，神经网络生成的电压与相角分布将被迫收敛至满足物理拓扑约束的可行域内。

2.2.3 天然气系统流体动力学残差 Lgas

本节基于1.2节建立的天然气网络模型，依据流体力学守恒定律，从节点质量平衡与管道动量传输2个维度构建物理残差，迫使神经网络生成的压力场与流量场严格遵循物理规律。
对于气网节点，基于式（10）构建出质量平衡残差 Lgas，mass  为
$\begin{array}{c}{\mathit{L}}_{\text{gas,mass}\text{ }}={‖{\mathit{A}}_{\text{gas}\text{ }}{\mathit{f}}_{\text{gas}\text{ }}+{\mathit{G}}_{\text{source}\text{ }}-{\mathit{L}}_{\text{gas}\text{ }}‖}_{2}^{2}\end{array}$
式中： Agas  为气网的节点-支路关联矩阵，其元素Aij=1 表示管道 j 流出节点 i,Aij=-1 为管道流入，0表示无连接；fgas  为神经网络输出的管道流量向量； Gsource  为气源节点的注入流量向量； Lgas  为各节点的已知天然气负荷消耗向量。
在传统的数值求解中，流量通常表示为压力差的平方根函数。然而，在神经网络的反向传播训练中，平方根函数在零流量点处导数无穷大，极易导致梯度爆炸或数值振荡。为解决这一问题，采用平方残差形式对式（11）进行重构，得到动量传输残差 Lgas , mom  ，并引入符号函数保持流向的物理一致性，即
$\begin{array}{c}{\mathit{L}}_{\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{s},\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{m}}=\frac{1}{{\mathit{N}}_{\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{e}}}\sum _{\mathit{k}=1}^{{\mathit{N}}_{\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{e}}}  {\left({\mathit{f}}_{\mathit{k}}\left|{\mathit{f}}_{\mathit{k}}\right|-{\mathit{C}}_{\mathit{k}}^{2}\left({\mathit{p}}_{\mathrm{i}\mathrm{n},\mathit{k}}^{2}-{\mathit{p}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},\mathit{k}}^{2}\right)\right)}^{2}\end{array}$
式中：Npipe  为管道数量；Ck 为管道 k 传输常数；pin ,k、pout ,k 分别为管道 k 首末两端的节点压力；fk为管道 k 的质量流量； ${\mathit{f}}_{\mathit{k}}\left|{\mathit{f}}_{\mathit{k}}\right|$ 为方向保持项，是对式（11）中 f2sgn(f) 的连续化处理。
将上述质量平衡残差与动量传输残差进行线性叠加，构建气网总物理损失函数为
$\begin{array}{c}{\mathit{L}}_{\text{gas}\text{ }}={\mathit{L}}_{\text{gas,mass}\text{ }}+{\mathit{L}}_{\text{gas,mom}\text{ }}\end{array}$
通过极小化总残差 Lgas  ，神经网络能够自适应地学习压力势能驱动气体流动的物理机制，实现对式（10）~（13）所描述的天然气网络物理特性的重构。

2.2.4 热力系统热力学及传输残差损失 Lheat 

热力系统具有显著的大惯性与长延时特征。根据本文1.3节建立的热力网络模型，本节构建了包含源端量热平衡、节点动态响应及管网空间损耗的复合物理残差。
在 CHP 机组或热源节点处，电、气能向热能的转化须遵循能量守恒定律。依据式（14）定义的量热方程，热源注入的热功率直接决定了供回水的温差。为了约束神经网络生成的源端温度边界符合物理实际，构建热源平衡残差 Lheat，src  为
$\begin{array}{c}{\mathit{L}}_{\text{heat,src}\text{ }}={‖\left({\mathit{T}}_{\text{supply}\text{ }}-{\mathit{T}}_{\text{return}\text{ }}\right)-\frac{{\mathit{Q}}_{\text{gen}\text{ }}}{{\mathit{C}}_{\mathrm{m}}\dot{\mathit{m}}}‖}_{2}^{2}\end{array}$
式中：Tsupply 、Treturn  分别为热源节点的供水温度与回水温度预测值；Qgen  为 CHP 机组或其他热源设备的产热功率； $\dot{\mathit{m}}$ 为单位时间内通过热源的热水质量。
由式（15）建立的节点热动态响应模型，流体温度随时间的演化率取决于当前的温度水平与环境温差，对应的动态传输残差 Lheat，dyn  定义为
$\begin{array}{c}{\mathit{L}}_{\text{heat,dyn}\text{ }}={‖\frac{\partial \mathit{T}}{\partial \mathit{t}}+{\mathit{\lambda }}_{\text{loss}\text{ }}\left(\mathit{T}-{\mathit{T}}_{\text{amb}\text{ }}\right)‖}_{2}^{2}\end{array}$
式中： $\frac{\partial \mathit{T}}{\partial \mathit{t}}$ 为供水温度 T 对时间的导数，由神经网络的自动微分模块计算获得；λloss  为热耗散与惯性系数。
长距离传输中，空间维度的温度降落必须符合指数衰减规律。构建空间损耗残差 Lheat，spa  ，约束管道首末两端的温度关系为
$\begin{array}{cc}& {\mathit{L}}_{\text{heat,spa}\text{ }}=\frac{1}{{\mathit{N}}_{\text{pipe}\text{ }}}\sum _{\mathit{k}=1}^{{\mathit{N}}_{\text{pipe}\text{ }}}  \Vert {\mathit{T}}_{\text{out}\text{ },\mathit{k}}-\left({\mathit{T}}_{\text{amb}\text{ }}+\left({\mathit{T}}_{\text{in}\text{ },\mathit{k}}-\right.\right.\left.\left.{\mathit{T}}_{\text{amb}\text{ }}\right){\mathrm{e}}^{-\frac{{\mathit{\lambda }}_{\text{loss}\text{ }}{\mathit{L}}_{\mathit{k}}}{{\mathit{C}}_{\mathrm{m}}}}\right){\Vert }_{2}^{2}\end{array}$
式中：Tin ,k、Tout ,k 分别为管道 k 首端与末端的温度；Lk 为管道长度； ${\mathrm{e}}^{-\frac{{\mathit{\lambda }}_{\text{loss}\text{ }}{\mathit{L}}_{\mathit{k}}}{{\mathit{C}}_{\mathrm{m}}}}$ 为由管道物理参数决定的温度衰减因子。
为了协同优化热源耦合、时域演化与空域传输 3 个物理过程，将上述 3 项残差线性加权，定义热网总物理损失函数为
$\begin{array}{c}{\mathit{L}}_{\text{heat}\text{ }}={\mathit{L}}_{\text{heat,src}\text{ }}+{\mathit{L}}_{\text{heat,dyn}\text{ }}+{\mathit{L}}_{\text{heat,spa}\text{ }}\end{array}$
通过最小化 Lheat  ，神经网络能够实现对热力系统＂源-网-荷＂全环节的精确重构，在保证能量守恒的同时，真实还原热网的大惯性动态特征。

2.2.5 运行约束损失 Lineq 

综合能源系统的安全运行不仅依赖于物理守恒定律的满足，还受发电机组、传输线路及关键设备的物理极限严格限制。
需要指出的是，本文对不同类型的运行约束采用差异化处理方式。节点电压、机组出力、气网压力及热网温度等状态值域类约束已通过输出层的有界激活函数与硬约束映射直接内化至网络输出，因此不再重复构造相应惩罚项；而机组爬坡约束属于动态导数类约束，其约束对象为机组出力随时间的变化速率，无法通过输出值域映射直接保证。基于此，本文将爬坡约束作为运行约束损失的主要构成，用于对网络生成的动态运行轨迹施加调节速率限制。
针对发电机组出力的调节速率限制，式（6）定义了机组爬坡率不等式约束。利用 ReLU 函数的单边激活特性，构建爬坡率损失函数为
$\begin{array}{c}{\mathit{L}}_{\text{ramp}\text{ }}=\frac{1}{{\mathit{N}}_{\text{unit}\text{ }}}\sum _{\mathit{k}=1}^{{\mathit{N}}_{\text{unit}\text{ }}}  \mathit{R}\mathit{e}\mathit{L}\mathit{U}{\left(\left|\frac{\partial {\mathit{P}}_{\text{gen}\text{ },\mathit{k}}}{\partial \mathit{t}}\right|-{\mathit{R}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x},\mathit{k}}\right)}^{2}\end{array}$
式中：Nunit  为机组数；ReLU 函数确保了只有当机组调节速率超过物理极限时，才会产生非零的损失值和梯度反馈；当速率在安全范围内时，损失为零，不干扰正常的优化过程。这种机制迫使系统的动态轨迹自动收敛至式（6）定义的安全动态范围内。

2.3 多任务梯度协同与自适应权重生成

由式（20）可知，总损失函数由电力、天然气、热力系统的物理残差及运行约束等分项构成。由于不同子系统的物理量纲差异巨大，导致各分项损失函数的数值量级跨度可达 104 以上。
若采用固定权重，大数量级的损失项将主导梯度下降方向，导致小数量级的约束无法得到有效优化，为了解决这一问题，采用基于损失幅值平衡的自适应权重更新策略。该策略动态调整式（20）中的 $\mathit{\lambda }=\left[{\mathit{\lambda }}_{\text{elec}\text{ }},{\mathit{\lambda }}_{\text{gas}\text{ }},\cdots,{\mathit{\lambda }}_{\text{cost}\text{ }}\right]$ ，使得各物理场的梯度贡献在训练过程中保持均衡。

2.3.1 指数移动平均估计

为了获得稳定的损失量级估计，首先对各分项损失 Lk 采用指数移动平均进行平滑处理。
设 n 为当前的迭代次数。对第 k 个物理子任务，记其在当前批次计算得到的瞬时损失值为 ${\mathit{L}}_{\mathit{k}}^{\left(\mathit{t}\right)}$ ，其平滑估计值 ${\stackrel{\mathit{‾}}{\mathit{L}}}_{\mathit{k}}^{\left(\mathit{n}\right)}$ 的更新公式为
$\begin{array}{c}{\stackrel{\mathit{‾}}{\mathit{L}}}_{\mathit{k}}^{\left(\mathit{n}\right)}=\mathit{\alpha }{\stackrel{\mathit{‾}}{\mathit{L}}}_{\mathit{k}}^{(\mathit{n}-1)}+(1-\mathit{\alpha }){\mathit{L}}_{\mathit{k}}^{\left(\mathit{n}\right)}\end{array}$
式中：α 为动量衰减因子，用于控制历史信息的保留程度，确保权重更新既具有平滑性又能及时响应训练状态的变化。

2.3.2 权重动态生成

自适应权重的核心思想是赋予数值较小的损失项更大的权重，赋予数值较大的损失项较小的权重，从而将所有加权后的损失项拉齐至同一基准水平  [30] 。
首先，为了确定一个统一的优化目标量级，需要计算当前训练轮次下所有物理子任务的平均收敛水平。将所有分项损失的平滑估计值的算术平均 S(n) 定义为
$\begin{array}{c}{\mathit{S}}^{\left(\mathit{n}\right)}=\frac{1}{{\mathit{N}}_{\mathrm{L}}}\sum _{\mathit{k}=1}^{{\mathit{N}}_{\mathrm{L}}}  {\stackrel{\mathit{‾}}{\mathit{L}}}_{\mathit{k}}^{\left(\mathit{n}\right)}\end{array}$
式中：NL 为损失分项的总数；S(n) 代表了当前神经网络对系统物理规律掌握程度的平均误差水平，为后续的权重归一化提供了动态参考标尺。
基于上述基准，构建第 k 个物理子任务的目标权重 ${\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{\lambda }}}_{\mathit{k}}^{\left(\mathit{n}\right)}$ 。 ${\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{\lambda }}}_{\mathit{k}}^{\left(\mathit{n}\right)}$ 与该项损失的当前幅值成反比关系，计算式为
$\begin{array}{c}{\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{\lambda }}}_{\mathit{k}}^{\left(\mathit{n}\right)}=\frac{{\mathit{S}}^{\left(\mathit{n}\right)}}{{\stackrel{\mathit{‾}}{\mathit{L}}}_{\mathit{k}}^{\left(\mathit{n}\right)}+\mathit{ϵ}}\end{array}$
式中：ϵ 为数值稳定性项，引入微小常数防止分母为零，确保在某一物理约束被完美满足时，权重不会发生数值溢出。当某一项物理残差 ${\stackrel{\mathit{‾}}{\mathit{L}}}_{\mathit{k}}$ 远大于平均水平 S(n) 时，计算所得权重 ${\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{\lambda }}}_{\mathit{k}}$ 将自动减小；反之，当残差远小于平均水平时，权重将自动增大。
通过这一映射，加权后的损失项 ${\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{\lambda }}}_{\mathit{k}}{\stackrel{\mathit{‾}}{\mathit{L}}}_{\mathit{k}}$ 在数学期望上将趋近于全局基准 S(n) ，即
$\begin{array}{c}\mathit{E}\left[{\stackrel{\mathit{ˆ}}{\mathit{\lambda }}}_{\mathit{k}}{\stackrel{\mathit{‾}}{\mathit{L}}}_{\mathit{k}}\right]\approx {\mathit{S}}^{\left(\mathit{n}\right)}\end{array}$

3 算例验证

3.1 数据集生成

为增强模型对不同运行工况的泛化能力，本文对综合能源系统中电网、天然气网和热网的所有负荷节点需求进行在线随机扰动，并在训练过程中构建＂基准工况—随机扰动—参数更新＂的场景增强机制  [31] 。网络训练依赖动态负荷边界条件与物理残差场的共同约束，扰动后的负荷不仅作为输入边界条件参与各子系统物理损失构造，也用于持续改变训练过程中的运行场景分布，从而检验所提 APINN 模型在负荷不确定性和工况迁移条件下的鲁棒适配能力  [32] 。

3.1.1 基准工况与扰动因子定义

参考文献[33]的随机扰动思想，设电网、天然气网和热网在基准工况下的节点负荷向量分别为 ${\mathit{L}}_{\mathrm{e}}^{0}\left(\mathit{t}\right)\in {\mathbb{R}}^{{\mathit{N}}_{\mathrm{e}}},{\mathit{L}}_{\mathrm{g}}^{0}\left(\mathit{t}\right)\in {\mathbb{R}}^{{\mathit{N}}_{\mathrm{g}}},{\mathit{L}}_{\mathrm{h}}^{0}\left(\mathit{t}\right)\in {\mathbb{R}}^{{\mathit{N}}_{\mathrm{h}}}$ ，其中 Ne、Ng和 Nh 分别为电网、天然气网和热网的负荷节点数。为模拟实际运行中多能负荷的随机波动，分别为三网引入节点级扰动因子向量： ${\mathit{\xi }}_{\mathrm{e}}\in {\mathbb{R}}^{{\mathit{N}}_{\mathrm{e}}},{\mathit{\xi }}_{\mathrm{g}}\in {\mathbb{R}}^{{\mathit{N}}_{\mathrm{g}}}$ ， ${\mathit{\xi }}_{\mathrm{h}}\in {\mathbb{R}}^{{\mathit{N}}_{\mathrm{h}}}$ 。
在此基础上，采用逐元素乘法方式生成扰动后的多能负荷工况，分别表示为 ${\mathit{L}}_{\mathrm{e}}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{\xi }}_{\mathrm{e}}\odot {\mathit{L}}_{\mathrm{e}}^{0}\left(\mathit{t}\right)$ 、 ${\mathit{L}}_{\mathrm{g}}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{\xi }}_{\mathrm{g}}\odot {\mathit{L}}_{\mathrm{g}}^{0}\left(\mathit{t}\right)\mathrm{、}{\mathit{L}}_{\mathrm{h}}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{\xi }}_{\mathrm{h}}\odot {\mathit{L}}_{\mathrm{h}}^{0}\left(\mathit{t}\right)$ ，其中 $\odot $ 为逐元素乘积。上述构造方式保持了基准负荷曲线的时序形态，同时通过扰动因子改变各节点负荷幅值及其组合关系，从而形成多样化边界场景。

3.1.2 在线场景生成与训练耦合流程

图 3展示了本文在线场景生成与 APINN 训练的耦合流程。
图3 在线场景生成与训练流程

Fig. 3 Coupled online scenario generation and training flowchart

3.2 算例分析

3.2.1 实验平台

本文仿真基于 TensorFlow 框架的 Python 语言实现，仿真硬件平台设置如下：CPU 为 Intel（R）Core（ R ）Ultra 9 275HX@2.70 GHz，内存 RAM为 32 GB，GPU为 NVIDIA RTX 5060，显存 8 GB。

3.2.2 拓扑与不完全信息设定

参考文献[34]的综合能源系统算例与参数设置，将 IEEE 24 节点电力系统、比利时 20 节点天然气系统以及16节点热力系统进行物理耦合。整体拓扑结构示意如图4所示。
图4 综合能源系统拓扑

Fig. 4 Topology of the integrated energy system

为贴合综合能源系统在真实运行中的观测条件，本文将不完全信息场景下的状态信息划分为强观测、弱观测与未观测 3 类。对于节点 i 上的状态分量 x ，若在训练阶段可获得其精确量测值并可直接参与监督训练，则记为强观测分量；若仅已知其运行区间、参考值或统计边界，而缺乏精确实时量测数据，则记为弱观测分量；若训练阶段无任何直接量测数据，仅保留拓扑、参数、边界及输入等先验信息，则记为未观测分量。
进一步地，若某节点包含部分强观测或弱观测分量，则称其为观测节点；若节点全部目标状态分量均为未观测，则称其为未完全观测节点；从观测节点中进一步选取一部分、在训练阶段隐藏状态信息而仅用于模型评估的节点，定义为验证节点。
为便于实现与复现，本文在实验中采用与程序实现一致的 0-based 编号，如表3所示。
为反映不同拓扑位置下的状态重构难度差异，验证节点按照源端邻近节点、网络中部传输节点、末端负荷节点及耦合敏感节点等类别分层选取，使评估结果能够覆盖不同空间位置与不同重构难度层级  [35] 。
表 3 综合能源系统节点分类

Table 3 Node classification of integrated energy systems

子系统 节点类型 程序编号（0-based） 训练阶段是否观测
电网 观测节点 0、1、2、3、15、17、20、21 是
验证节点
不完全信息节点		 5、6、12、14、22 否
其余节点 否
气网 观测节点 0、1、2、3、7、9、12、14 是
验证节点 4、11、13、16、19 否
不完全信息节点 其余节点 否
热网 观测节点 0、1、2、12、13、14、15 是
验证节点 3、8、9、10、11 否
不完全信息节点 其余节点 否

3.2.3 对比策略

设置 3 种对比实验来验证所提方法的有效性。1）采用传统的数值迭代求解方法（C1），分别求解电、气、热网络方程，通过交替迭代处理耦合变量直至收敛；2）采用纯数据驱动的深度神经网络方法（C2），不引入物理方程约束，只依靠数据驱动对综合能源系统进行监督学习；3）采用自适应物理信息神经网络，即本文所提方法（C3），在嵌入全网耦合物理方程的基础上，引入自适应权重机制，动态调整电、气、热及边界条件在训练过程中的权重，以克服多物理场量纲差异导致的训练坍塌问题。

3.3 参数设置

优化器选用 Adam，采用分段常数衰减策略来动态调整学习率。在探索阶段（Epoch 0~3000），设定学习率为 1×10-3 ；进入细化阶段（Epoch3000~7000），学习率降至 5×10-4 ，重点优化电力系统的非凸潮流方程；最后，在微调阶段（Epoch 7000~10001），学习率逐步降至 1×10-4 及 2×10-5 ，目的是消除气网和热网微分方程中的微小残差。
对于不同物理场量纲差异巨大的问题，引入了自适应权重平衡机制。初始权重设为1.0，动量因子 α=0.9 。总训练轮次设定为10000轮。

3.4 结果分析

3.4.1 收敛性分析

为验证本文提出的面向不完全信息综合能源系统机理-数据融合驱动建模方法在训练过程中的稳定性与收玫性，对训练阶段的损失函数变化规律进行统计分析。
图5 给出了 5 类损失随训练轮次变化的曲线。总体来看，训练初期总损失快速下降，表明网络参数能够学习到与观测节点一致的主导趋势，同时将状态空间引导至相对合理的物理可行域；中后期，各子系统损失呈现持续下降并逐步趋于平稳的趋势，说明在自适应权重调节作用下，电-气-热三网物理约束均能够被有效优化，而非仅拟合观测数据或偏向某一子系统。

3.4.2 不完全信息下关键节点状态重构效果分析

图6 给出了电网、气网与热网24 h 尺度下代表性节点的预测值与真值对比结果，各子图分别对应1个观测节点（节点 0 ）与 1 个验证节点（电网节点5、气网节点4、热网节点3）的时序曲线。
其中，观测节点的量测数据用于训练过程的＂观测一致性约束＂构建，验证节点在训练中被设为未知状态，仅在模型评估阶段用于效果验证。在此基础上，图7 绘制了各子网分层选取的5个验证节点24 h均方根误差的箱线分布，从空间统计维度刻画不同拓扑位置下重构误差的整体水平与离散特性。
电网的重构效果如图6a）所示。观测节点 0的电压预测曲线与真值吻合度良好，验证了模型在训练过程中对有限观测边界约束的有效满足；非观测验证节点 5 的电压预测结果，可精准复现其日内变化趋势与幅值波动区间，说明模型并非局限于观测节点的过拟合，而是基于电网潮流方程的机理约束，实现了对网络内部节点电压状态的物理一致性重构。从统计结果来看，针对分层选取的多验证节点，所提方法的均方根误差整体维持在较低量级，在不同拓扑位置下均能保持稳定的重构精度。
气网时序对比结果如图 6 b）所示。观测节点的气压预测值与真值接近，验证了模型对气源边界约束的精准刻画；验证节点 4 的气压预测曲线可有效跟随真值的动态变化规律并保持良好的相位一致性，表明所提方法仍可依托气网质量守恒与动量方程的机理约束，实现对不可观测节点气压动态的准确重构。从全节点的统计分布特征来看，不同验证节点的误差分布存在一定离散性，但所提方法的整体误差量级显著更低，且误差分布更为集中，说明模型的重构效果并非局限于个别节点，而是在不同空间位置、不同重构难度的节点上均能保持稳定优异的表现。这一特性对于不完全信息场景具有重要工程价值：当管网内部节点无直接量测时，模型可通过嵌入的物理机理约束，准确推断其全时段的动态响应特征。
图5 各项损失随训练轮次变化曲线

Fig. 5 Evolution of loss components during training

图6 验证节点预测效果

Fig. 6 Prediction performance at validation nodes

热网的时序重构效果如图6c）所示。观测节点 0 的温度预测结果与真值契合，表明热源侧的边界观测信息可被模型有效学习与利用；验证节点 3 的温度预测值，复现真值的整体水平与动态波动区间，体现在物理机制约束下，热网温度场具备可重构性。统计结果显示，热网不同验证节点的均方根误差分布存在差异，说明不同拓扑位置的温度状态重构难度存在空间异质性；但所提方法的误差中位值更低，整体波动范围更窄，在全节点上均保持了优异的重构表现。这一结果印证了模型嵌入的热网机理约束，不仅可实现代表性节点的高精度时序跟踪，还能为全网络多节点的温度场补全提供稳定的物理正则化。相较于电网与气网，热网的温度动态受边界条件与管网传输衰减特性的影响更为显著，该结果进一步验证了模型在稀疏观测场景下的空间泛化能力与鲁棒性。
图7 3类方法对比

Fig. 7 Method comparison

3.4.3 不同指标下对比实验结果

估计精度用于衡量模型预测状态量与＂基准真值＂之间的偏差，本文采用均方根误差统计整体误差与局部失效风险。
在表4给出了3种方法在24h时域上的误差统计。
C1 虽然满足一定机理，但在耦合迭代、参数简化与带噪边界条件下，仍会产生偏差，尤其在验证节点处无法实现有效的信息补全；C2在观测节点处可通过监督拟合获得一定精度，但由于缺少物理结构约束，其在不可观测节点上的泛化能力明显不足，验证节点误差显著放大；相反，C3在观测节点精度保持较高水平的同时，能够借助电-气-热耦合机理对全网状态形成结构化补全，使验证节点误差显著低于 C 2 。这说明：在稀疏观测条件下，仅依赖数据驱动难以保证全网一致性，而机理-数据融合更适用于不完全信息下的状态重构问题。
表4 估计精度对比

Table 4 Comparison of estimation accuracy

指标 C1 C2 C3
观测电压（p.u.） 0.0012 0.0018 0.0014
观测相角/rad 0.0030 0.0045 0.0025
观测气源压力/kPa 3.5 6.2 3.1
观测热源供水/ ∘C 1.100 1.650 0.980
验证节点电压（p.u.） 0.0031 0.0049 0.0029
验证节点气压/kPa 9.2 14.8 8.7
验证节点温度/ ∘C 1.26 1.92 1.34
物理一致性反映预测解是否满足电、气、热网络的守恒与耦合机理。本文采用归一化残差指标对三网方程一致性进行评价，并分别统计电网潮流平衡残差、气网质量守恒、动量残差、热网能量平衡与管网衰减残差，最终汇总为总物理残差。表5 给出对比结果。
表5 物理一致性对比

Table 5 Comparison of physical consistency

指标 C1 C2 C3
电网潮流平衡残差 2.2×10-2 2.8×10-2 2.5×10-2
气网质量守恒残差 3.1×10-2 7.4×10-2 3.3×10-2
气网动量残差 2.7×10-2 5.9×10-2 2.6×10-2
热网能量平衡残差 2.6×10-2 9.2×10-2 1.7×10-2
物理残差总计 2.9×10-2 7.1×10-2 2.1×10-2
C1 基于机理求解，但由于多网络交替迭代的收敛容差与耦合量更新策略限制，并且不完全信息下边界条件存在不确定性，结果存在误差；C2 由于完全不引入物理方程约束，即使观测节点拟合较好，也可能出现能量、质量守恒破坏、潮流不闭合等问题，导致全网物理残差显著偏大；C3 通过将耦合机理残差显式纳入训练目标，并借助自适应权重缓解量纲差异，能够在不完全信息条件下显著降低三网残差，使预测解更接近物理可行域，从而提升结果的可解释性与可信度。
安全性指标用于衡量预测结果是否违反关键运行约束。本文选取电压运行区间、气压上下限、供回水温度合理范围等约束，并统计最大越界量以及越界时刻比例。表 6 给出了对比结果。
表 6 安全性对比

Table 6 Comparison of operational safety

约束与指标 C1 C2 C3
电压越界最大值（p.u.） 0.012 0.031 0.013
电压越界比例/％ 2.8 6.8 2.2
气压越界最大值/kPa 11.0 23.5 10.2
气压越界比例/％ 3.7 9.5 2.1
回水温度越界最大值/ ∘C 5.8 12.6 5.4
回水温度越界比例/％ 3.2 8.1 3.7
在不完全信息条件下，C1 虽然遵循机理，但在不完全条件下仍可能出现局部节点越界；C2往往更容易产生越界现象，其根本原因在于：模型缺少物理闭合与运行约束的结构性限制，预测可能在不可观测节点上发生漂移；C3 通过物理残差约束与边界、区间惩罚机制，使预测结果整体更接近物理可行域与安全运行域，降低越界幅度与越界频率。

4 结论

本文从综合能源系统在实际运行中观测点稀疏、量测信息缺失及多能流状态难以全域感知等问题出发，围绕不完全信息条件下电-气-热耦合系统的可信建模与状态重构开展研究，提出了自适应物理信息神经网络驱动的机理-数据融合建模方法。该方法将电网交流潮流、天然气管网质量守恒与动量传输、热力管网能量传输与温度衰减等物理机理嵌入神经网络训练过程，并结合少量量测信息，实现稀疏观测条件下综合能源系统运行状态的全域补全与重构，得到以下结论。
1）所提方法能够有效融合多能流物理机理与有限量测数据。通过将电、气、热子系统的物理方程以残差形式嵌入损失函数，并利用观测节点量测对运行工况进行约束，可缓解纯物理信息训练中解空间非唯一、收玫困难等问题，提高不完全信息条件下状态重构问题的可识别性与求解稳定性。
2）针对综合能源系统中不同物理量量纲差异大、运行约束类型复杂的问题，本文采用输出结构化参数化、边界惩罚与自动微分约束相结合的方式，对机组出力、爬坡速率、气网压力、热网温度等关键运行边界进行约束内化。该处理能够在缺乏密集标签数据的情况下，提高模型输出结果的物理可行性与安全约束满足能力。
3）针对电-气-热多物理场耦合训练过程中易出现的损失尺度不一致和梯度优化失衡问题，本文设计了基于损失幅值感知的自适应权重调整机制，能够动态平衡观测项与各类物理残差项的训练贡献，使不同子系统约束在训练过程中得到协同优化，从而增强模型的收敛稳定性和跨工况鲁棒性。
4）算例结果表明，所提方法在稀疏观测和负荷扰动条件下仍能够实现稳定收敛和全域状态重构，兼顾状态估计精度、物理一致性与运行约束可控性，可为不完全信息场景下综合能源系统的可信状态感知提供有效方法支撑。
后续需要进一步考虑更精细的动态机理、系统参数辨识、量测噪声与不确定性量化等因素，并结合更大规模系统和实际工程数据开展验证，从而进一步提升所提方法在真实综合能源系统运行分析与在线状态感知中的工程适用性。

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