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2024 , Vol. 39 >Issue 5: 1734 - 1748

DOI: https://doi.org/10.6038/pg2024HH0457

Research progress in the reconstruction of GRACE and GRACE-FO missing data

  • WeiFeng HAO , 1, 2, 3 ,
  • YiDi YANG 1 ,
  • PeiChong LIU 1 ,
  • ShengJun GAO 1 ,
  • Qing CHENG , 4, *
Expand
  • 1 Chinese Antarctic Center of Surveying and Mapping, Wuhan University, Wuhan 430079, China
  • 2 Key Laboratory of Polar Environment Monitoring and Public Governance (Wuhan University), Ministry of Education, Wuhan 430079, China
  • 3 Hubei Luojia Laboratory, Wuhan 430079, China
  • 4 School of Computer Science, China University of Geoscience, Wuhan 430074, China

Received date: 2023-12-21

  Online published: 2024-12-19

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Copyright ©2024 Progress in Geophysics. All rights reserved.
Fold

Abstract

The GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment) satellite mission, a collaboration between NASA and the German Aerospace Center, was complemented by the launch of its successor, GRACE Follow-On (GRACE-FO), in May 2018. These satellites have crucially contributed to our understanding of Earth's long-term gravitational variations. However, gaps and interruptions in the time-variable gravity field series have arisen due to satellite battery issues, payload calibration errors, and the extended gap between the GRACE and GRACE-FO missions, affecting the continuity and completeness of the data. This paper provides an overview of the GRACE and GRACE-FO missions, data products, and the circumstances of data gaps. It categorizes the reconstruction methods for missing GRACE/GRACE-FO data into two main types: those based on mathematical statistics, the paper focuses on Singular Spectrum Analysis (SSA) and Least Squares Harmonic Analysis (LS-HE), comparing their applicability, strengths, and weaknesses with other methods such as the Autoregressive Moving Average Model (ARMA) and Multi-channel Singular Spectrum Analysis (MSSA). And those using auxiliary information, which employ other satellite data (like GNSS, Swarm, and SLR) and climate and hydrological data, often based on empirical regression relationships or deep learning. This paper evaluates these methods, comparing their applicability, strengths, and limitations, and presents a case study in the Yangtze River Basin using a combination of Empirical Mode Decomposition (EMD) and Long Short-Term Memory (LSTM), showing superior results over methods like Support Vector Machine (SVM), Random Forest (RF), and Iterative Singular Spectrum Analysis (ISSA). In conclusion, while mathematical statistical methods offer simplicity and low computational requirements, deep learning combined with various auxiliary data yields higher quality reconstruction results. In recent years, research both domestically and internationally in this field has also primarily focused on data reconstruction using various deep learning algorithms in conjunction with auxiliary information.The paper contributes to the ongoing research in this field, focusing on deep learning algorithms combined with surface mass models, climate, and hydrological data for data reconstruction, and provides insights for future approaches in filling data gaps for GRACE/GRACE-FO, enhancing the application and research in time-variable satellite gravimetry.

Key words： GRACE; GRACE-FO; Data gap; Data reconstruction; Research progress

Cite this article

WeiFeng HAO , YiDi YANG , PeiChong LIU , ShengJun GAO , Qing CHENG . Research progress in the reconstruction of GRACE and GRACE-FO missing data[J]. Progress in Geophysics, 2024 , 39(5) : 1734 -1748 . DOI: 10.6038/pg2024HH0457

0 引言

GRACE(Gravity Recovery and Climate Experiment)是由美国国家航空航天局和德国宇航中心合作实施的卫星任务，于2002年3月发射入轨，旨在监测地球的重力场变化与水资源分布.GRACE任务使用两颗相距约220 km的卫星，通过K波段测距系统精确测量卫星间微小的距离变化，从而实现对地球重力场的监测.GRACE于2017年11月退役，随后在2018年5月发射了后续卫星GRACE Follow-On(GRACE-FO)，继续监测地球重力场及其变化.
GRACE和GRACE-FO卫星提供了精确且长期的地球时变重力测量记录，获得了陆地水储量变化(Chen et al., 2016；Long et al., 2015)、全球海洋质量变化(Gardner et al., 2013；Morison et al., 2007)、海底压力和冰川物质平衡(Luthcke et al., 2013；Wouters et al., 2019)等信息，不断提高了对地球系统的长时间尺度质量变化的理解(Tapley et al., 2004；Sun et al., 2021).同时，GRACE和GRACE-FO卫星重力测量还为研究冰川均衡调整(Glacial Isostatic Adjustment, GIA)(Velicogna and Wahr, 2013)和大地震引起的固体地球形变(Panet et al., 2007)提供了一种独特的监测手段.
地球重力场的变化是一个缓慢而连续的长期过程，可能是由季节性因素(如季风、融雪等)引起，也可能是由人为因素(如地下水抽取、水库蓄水等)引起，又或者是由地球内部动力学过程(如地震、火山活动等)引起.GRACE与GRACE-FO具有相似的卫星轨道特性，然而，由于仪器供电问题、载荷校准误差以及GRACE与GRACE-FO任务间较长的时间间隔，其时变重力时间序列是不连续的.某些关键时间节点的数据缺失或间断会引起整体结果的高估或低估，从而对所关注科学问题的准确性和可靠性产生影响.因此，如何准确地构建GRACE/GRACE-FO时变重力场的连续观测序列成为了一项研究热点.
本文首先介绍GRACE和GRACE-FO任务及数据情况，包括存在数据缺失及间断的具体月份.其次，将GRACE/GRACE-FO缺失数据重建方法分为两大类，即基于数理统计方法的数据重建和基于辅助信息的数据重建.在此基础上，评述基于数理统计方法的GRACE/GRACE-FO缺失数据重建研究现状，并着重介绍奇异谱分析方法的应用；详述基于辅助数据的缺失数据重建方法研究现状.最后，对GRACE/GRACE-FO卫星数据缺失信息的填补方法进行总结并对后续研究给出建议.

1 GRACE与GRACE-FO数据

GRACE/GRACE-FO时变重力产品主要由GRACE/GRACE-FO三个数据处理中心CSR(Center for Space Research)、JPL(Jet Propulsion Laboratory)和GFZ(Geo Forschungs Zentrum)，以及奥地利格拉茨技术大学(Technische Universität Graz)、同济大学、国际时变重力场组合服务组织(The International Combination Service for Time-variable Gravity Fields，COST-G)等机构提供.
目前，常用的GRACE/GRACE-FO数据主要有球谐系数产品(Level-2产品)及Mascon产品(Level-3产品).Level-2产品主要包括GSM、GAA、GAB、GAC和GAD等产品，其中GSM是扣除了固体潮、海潮、极潮、非潮汐大气和高频海洋信号后的球谐系数产品，反映的是地表及内部质量重新分布引起的时变重力信号；GAA表示GSM模型中扣除了高频大气质量后的重力球谐系数产品；GAB表示GSM中扣除了有关高频海洋信号后的重力球谐系数产品；GAC表示全球海洋和大气质量的重力球谐系数产品；GAD表示海底压力变化的重力球谐系数产品.GRACE Level-2产品介绍可见https://www2.csr.utexas.edu/grace/RL06.html.Level-3数据是对Level-2数据进行进一步处理和解析后得到的产品，通常以更直观、易于理解的网格数据形式提供，以供非专业用户和科学研究人员使用.
这些月度产品通过美国航空航天局的物理海洋学分布式活动归档中心(Physical Oceanography Distributed Active Archive Center, PODAAC, http://podaac.jpl.nasa.gov/grace/)、GFZ的国际地球模型中心(International Centre for Global Earth Models, ICGEM，http://icgem.gfz-potsdam.de/series)定期发布，延迟时间通常不超过60天.

1.1 球谐系数产品

当前Level-2的Release 6(RL06)产品以球谐系数的形式发布，球谐系数产品的低阶次系数代表大尺度特征(如地球的质量、扁率等)，而高阶次系数代表小空间尺度上的特征.GRACE/GRACE-FO重力产品在进行球谐解算时通常在60或96阶次处截断，这主要由GRACE/GRACE-FO卫星的轨道特征(卫星高度和卫星间距)所决定.在60阶次截断时重力场空间分辨率约为330 km，在更高阶次截断虽然会包括更详细的空间特征，但会增加产品的不确定性和噪声.
GRACE/GRACE-FO球谐产品的高阶系数以噪声为主，具有明显的纵向条纹和其他误差，可以使用去相关滤波及高斯平滑等去噪方法削弱其影响.同时，球谐系数的截断以及空间滤波导致真实信号幅度的衰减(称为泄露误差)，一般通过尺度因子法或者正向迭代的方法消除其影响.GRACE/GRACE-FO测量的低阶球谐系数存在较大的不确定性，卫星激光测距(Satellite Laser Ranging, SLR)已经被证明是一种可靠的用于监测低阶重力变化的空间技术，因此通常利用SLR提供的解进行替代(Chen et al., 2022).

1.2 Mascon产品

Mascon全称为Mass Concentration，是指地球重力场的局部质量异常，代表了地球表面和内部的质量分布不均匀.相比其他产品需要进行低阶项替换与添加、去相关和空间滤波、改正泄露误差等复杂处理，Mascon产品使用更加方便，无需进行复杂的后处理.
JPL、GSFC(Goddard Space Flight Center)和CSR三家官方机构发布的Mascon产品使用的数据处理方法、格网形状与大小、时间采样、原始分辨率各有不同，具体如表 1所示.JPL Mascon每个格网之间并不独立，使用一套基于0.5℃LM(Community Land Model)水文模型得到的尺度因子，用于解释小于Mascon分辨率下的地球物理信号(Watkins et al., 2015).由于CLM模型不包含山地冰川和冰架的组成部分，所以JPL Mascon产品并不适用于研究山地冰川和极地冰架的重力变化问题.GSFC根据改正模型和使用区域的不同发布了6个版本的Mascon产品，其能更好地估计极地冰盖和高纬度地区陆地冰雪的质量变化(Luthcke et al., 2013).在研究时间序列时，CSR Mascon只可以应用于流域尺度的时间序列分析，而不能用于单一网格的时序分析.此外，Gao等(2023)采用广义三角帽方法，不依赖任何先验知识对GRACE反演的的陆地水储量变化的不确定性进行了量化，并将常用的六种解融合生成更高质量的解.研究发现无论是在全球还是流域尺度，六种解中CSR的球谐解(CSR SH)具有最低的不确定性和最高的信噪比，同时GSFC的Mascon解在Mascon解中表现最佳.融合解在流域尺度上平均降低了36.56%的不确定性，提高了1.92倍信噪比.
表1 三家官方机构的Mascon产品参数对比

Table 1 Parameters comparison of Mascon product of three official institutions

机构 JPL CSR GSFC
格网大小 0.5°×0.5° 0.25°×0.25° 0.5°×0.5°
时间分辨率 1个月 1个月 10天
格网形状 圆盘形 正六边形 正方形
原始分辨率 3°×3° 1°×1° 1°×1°
数据来源 L1b级星间距和GPS L1b级星间距和GPS L1b级星间距和GPS
外部物理模型先验约束 有 无 有
背景场模型 GIF48 GGM05C GOCO-05S
行星星历表 DE421 DE430 DE430
关键技术 基于先验信息的白噪声建模；
连续卡尔曼滤波		 Tikhonov正则化方法 自协方差矩阵的正则化

2 GRACE/GRACE-FO缺失和间断数据重建

由于GRACE和GRACE-FO任务的一些软硬件问题，数据集存在部分月份的缺失值.同时，GRACE任务结束和GRACE-FO任务开始间还存在一个长约11个月(2017年7月至2018年5月)的数据间断期，GRACE和GRACE-FO数据缺失及两卫星数据间断情况如图 1所示，其中，GRACE观测期间存在20个月的数据缺失，GRACE-FO观测期间存在2个月的数据缺失，GRACE和GRACE-FO任务之间存在11个月的数据间断.需要说明的是，本文后续描述相关工作时不再区分数据缺失和数据间断，统称为数据缺失.
图1 GRACE和GRACE-FO任务内数据缺失及两卫星任务间数据间断的时间示意图(截至2023年4月)

Figure 1 Data gap within and between the GRACE and GRACE-FO missions (up to April 2023)

对于GRACE和GRACE-FO观测中缺失的一个或两个月数据通常可使用插值方法进行填补(陈智伟等，2020).但对于GRACE和GRACE-FO任务中间存在的11个月的数据缺失，不能简单通过数据插值来完成.Landerer等(2020)比较分析了在降雨量充足、干旱和冰雪融化等不同场景下，GRACE/GRACE-FO缺失数据重建结果与利用表面物质平衡独立观测的质量变化结果，具有很好的一致性，两个任务的数据质量是一致且无偏的，据此填补两任务之间的数据缺失成为可能.
GRACE/GRACE-FO缺失数据填补方法依据原理不同可以分为两大类：一类是基于数理统计方法的缺失数据重建，第二类是基于辅助信息的缺失数据重建，重建过程中会引入水文模型、表面质量模型或SLR卫星数据、GNSS大地形变数据和欧空局低轨道Swarm卫星轨道数据等作为辅助，并使用人工神经网络等方法来构建GRACE和GRACE-FO时间序列中缺失的信息.

2.1 基于数理统计方法的GRACE/GRACE-FO缺失数据重建

基于数理统计方法的GRACE/GRACE-FO缺失数据重建基本思想是利用数理统计方法分析数据特征及规律，从而实现对数据的预测.常用的数理统计方法有最小二乘非线性回归和相关分析法(Mirzavand and Ghazavi, 2015；Chinnasamy and Agoramoorthy, 2015；Panda and Wahr, 2016)、基于预测和回归的加权平均重复插补法(Repeated Imputation Method，RIM)(Rodrigues and De Carvalho，2013)、奇异谱分析(Singular Spectrum Analysis，SSA)或改进的奇异谱分析法(Li et al., 2019；Yi and Sneeuw, 2021；Wang F et al., 2021)、自回归滑动平均模型法(ARMA)(Mirzavand and Ghazavi, 2015)、有外生变量的自回归积分滑动平均模型法(SARIMAX)(Sun et al., 2020)、最小二乘球谐分析法(Least Squares Harmonic Estimation，LS-HE)(Karim et al., 2023)、独立分量分析法(Independent Component Analysis，ICA)(Forootan and Kusche, 2012)等.本节主要介绍常用的奇异谱分析法和最小二乘球谐分析法，其余方法在第三小节进行简要概述.

2.1.1 奇异谱分析法

奇异谱分析法(SSA)是Vautard等(1992)提出的一种按方差分量将时间序列进行分解排序的工具.该方法源于Karhunen-Loeve分解理论，作为一种分析一维时间序列的主成分分析方法，可用于提取时间信号的非线性趋势或消除噪声(Hassani，2007；Bond et al., 2001).奇异谱分析方法的基本思路是将时间序列采样为时间滞后的节段并获取各段之间的相关信息，并基于时间相关性重构时间序列.奇异谱分析法进一步发展成为了能够基于数据样本得出的特征来填充时间序列数据间隙的工具(Schoellhamer，2001；Kondrashov and Ghil, 2006).
联合SSA和ARMA方法来填补GRACE/GRACE-FO数据间隙期间的陆地水储量异常序列(Terrestrial Water Storage Anomaly，TWSA)(Li et al., 2019)，选取中国六个地区(华北平原地区、西南地区、三江源地区、天山山脉地区、黑河流域地区和温州丽水地区)作为研究区域，重建了从2016年9月到2019年5月的陆地水储量变化，根据相关系数(R)、纳什效率系数(NSE)和均方根误差(RMSE)评估了重建数据在不同时间的准确性，可以看出SSA方法在大多数地区可重建陆地水储量变化的周期和趋势特征，但无法有效预测信号细节.在此基础上，将改进的迭代SSA方法(ISSA)和ARMA方法结合，在亚马逊流域、长江流域等8个典型流域重建了GRACE/GRACE-FO陆地水储量变化时间序列缺失信息(徐鹏飞等，2021).该方法在大部分流域重建效果要显著优于单一的SSA重建方法和ARMA重建方法，预测结果与其重合时间段内GRACE-FO球谐数据反演陆地水储量变化结果具有较高的一致性.
区别于上述对GRACE球谐数据反演不同流域陆地水储量变化或等效水高序列的缺失信息进行重建，Yi和Sneeuw(2021)、Wang等(2020)提供了缺失时间段的球谐系数产品.但这两种研究方法也有一定差别，其中Wang等(2020)提出的改进多通道奇异谱分析(M-SSA)是ISSA方法(Shen et al., 2015)的扩展，使用了滞后观测方法并结合多个时间序列，特别适合捕捉GRACE数据的复杂时空变异模式，并能过滤处理特定的误差和噪声(Prevost et al., 2019；Wang et al., 2020).而Yi和Sneeuw(2021)直接从原始观测数据分离信号和噪声，使得结果不受滤波方法的影响，同时提供了开源的处理工具和数据集.图 2展示了Yi和Sneeuw(2021)使用SSA重建GRACE/GRACE0-FO球谐数据的缺失信息后反演得到的六个研究区域的等效水高(EWH)时间序列，重建的球谐数据在图中显示为SSA-filling-a/b，其中SSA-filling-a为使用SSA方法填补的GRACE任务期间的较短时间间隔信息，SSA-filling-b为GRACE和GRACE0-FO任务之间的两月以上的长时间间隔填补信息，SSA方法也可以直接应用于等效水高时间序列数据的填补(SSA-series).图 2中还包括了冰川融化、陆地水储量变化以及大地震引起的质量变化，图 2e中两个黑色箭头标记了大地震的起始时间，该结果通过DDK3滤波(Kusche et al., 2009)进行了平滑处理.从图 2时间重合段观测结果比较可以发现，GRACE等效水高时间序列和SSA-filling-a/b的误差范围为厘米级，说明SSA在填补GRACE/GRACE0-FO球谐数据缺失信息的效果比较理想.
图2 利用SSA方法重建的六个研究区域完整的EWH时间序列(修改自Yi and Sneeuw, 2021)

(a)格陵兰岛；(b)南极地区；(c)印度；(d)亚马逊河流域；(e)苏门答腊岛；(f)日本.

Figure 2 Complete EWH time series of six study areas reconstructed using SSA method (modified from Yi and Sneeuw, 2021)

(a) Greenland island; (b) Antarctic region; (c) India; (d) Amazon river basin; (e) Sumatra island; (f) Japan.

从以上研究可以看出，SSA方法具有不需要先验信息、稳定识别能力、可以增强周期信号等明显的优势.在有限长度时间序列的动态重建中，结合经验正交函数，SSA方法可以从包含噪声的时间序列中尽可能多地提取有用信息；结合特征向量分析，SSA方法可有效识别并提取时间序列中不同特征的信息，同时受噪声的影响较小，特别适合分析和预测具有复杂成分或明显周期信号特征的陆地水储量变化时间序列；SSA方法能够反演年际和季节性等信号周期和趋势特征.与机器学习方法复杂的实验设计和巨大工作量不同，SSA数据填补方法简单，易于掌握和实现且计算量较小.
尽管SSA方法有着许多优势，但其自身也存在局限性.SSA方法重建的产品存在潜在误差来源，包括数据重建过程中存在被忽略的信号、未完全消除的数据误差、SSA方法中部分参数失真等.此外，这种方法本质上是通过利用GRACE/GRACE-FO数据的时间相关性来填补缺失的观测值，并没有添加新的信息.

2.1.2 最小二乘球谐分析法

最小二乘球谐分析法(LS-HE)是一种时间序列参数化分析方法(Amiri-Simkooei et al., 2007).该方法作为经典的最小二乘谱分析(Least Squares Spectral Analysis，LSSA)的广义形式，考虑了时间序列的一般线性趋势和随机模型.此外，Amiri-Simkooe和Asgari(2012)提出了改进的多变量LS-HE(Multivariate LS-HE)法，该方法在分析电离层总电子含量的时间序列方面进行了试验，结果较为理想.
Karimi等(2023)把LS-HE法引入到GRACE/GRACE-FO的缺失数据重建中，人工设定了一些时间序列间隙，以了解不同流域的水文特征，之后使用LS-HE法和SSA法对六个流域JPL Mascon反演的陆地水储量变化缺失数据进行重建(Karimi et al., 2023).结果如图 3显示，在亚马逊流域，在短间隙和长间隙缺失数据的填补中，根据RMSE值评估，LS-HE优于其他方法.在陆地水储量变化特征显著的流域，LS-HE方法的数据重建效果较好，但在缺少主导水文变化规律的流域，LS-HE方法的数据填补效果并不理想，在这种情况下，可以选择SSA方法.
图3 采用LS-HE算法填补亚马逊流域的GRACE/GRACE-FO TWSC数据的缺失信息(修改自Karimi et al., 2023)

Fig 3 Using LS-HE algorithm to fill in missing information in GRACE/GRACE-FO TWSC data in the Amazon Basin (modified from Karimi et al., 2023)

2.1.3 其他方法

Rodrigues和De Carvalho(2013)提出一种基于预测和加权平均的重复插补方法(RIM)用于填补时间序列的缺失值.Mahmoudvand和Rodrigues(2016)引入了一种新算法，该方法基于RIM，但应用了自动重采样和样本方差进行加权以得到重建缺失值的唯一估计.
Forootan和Kusche(2012)首先分离GRACE反演的陆地水储量变化的时间和空间模式，然后通过推导GRACE时间模式与相关预测变量之间的关系来重建陆地水储量变化时间序列的缺失信息.同时，该研究建议使用独立成分分析方法(ICA)分离GRACE信号不同特征，并应用有源自回归(ARX，Ljung，1987)方法推导相互关系并重建缺失数据(Forootan et al., 2014).
还有一些研究团队提出利用时间序列模型特征来重建GRACE/GRACE-FO时间序列中的缺失数据，如自回归滑动平均模型法(ARMA)(Mirzavand and Ghazavi, 2015)和自回归积分滑动平均模型(ARIMA).但有研究指出，ARMA方法对于周期特征较弱的时间序列预测效果并不理想，易受到序列中噪声的干扰，导致预测结果精度降低(徐鹏飞等，2021).
此外，一些经典的基于最小二乘参数估计的方法也被用于GRACE/GRACE-FO时间序列中缺失数据的重建，如：最小二乘非线性回归和相关分析(Mirzavand and Ghazavi, 2015；Chinnasamy and Agoramoorthy, 2015；Panda and Wahr, 2016)等方法，这些利用最小二乘原理构建的时间变化函数重建GRACE和GRACE-FO缺失数据的方法实现起来较为简单，但缺点是最小二乘参数估计容易受到时间序列中异常信号的影响，导致此类方法数据重建的精度有限.
表 2对比分析了不同数理统计方法用于GRACE/GRACE-FO缺失信息重建的优缺点及适用范围等，可以看出这些方法原理较为简单，计算量相对较小；但缺点表现在重建过程中没有引入其他辅助信息，受原始数据精度影响较大，而且重建过程中出现的参数失真等问题也会影响重建效果.
表2 常用基于数理统计方法的GRACE/GRACE-FO缺失数据重建方法比较

Table 2 The comparison of typical GRACE/GRACE-FO data reconstruction models based on mathematical and statistical methods

方法 优点 缺点 适用性范围 特点
线性插值，三次样条插值 简单易用，对短时间间隔效果好 对复杂或间隔较长数据效果不佳 填补简单或少量的数据缺口 使用相邻数据插值
奇异谱分析(SSA) 算法简单、效率高 限于单维时间序列分析 单维时间序列分析和重建 可重建趋势和周期性信号
多通道奇异谱分析(MSSA) 灵活高效、可用于多维时间序列 计算成本相对较高 多维时间序列的分析和重建 SSA改进方法, 可提取趋势并去噪
循环奇异谱分析(RIM-SSA) 有效重建缺失数据 需要较多迭代计算成本较高 缺失数据的填补和时间序列分析 SSA的改进方法, 使用循环预测算法
季节性自回归积分滑动平均模型(SARIMAX) 短期预测的鲁棒性和效率更高 适用性受流域特有的水文气候特征影响 湿润和低强度灌溉的地区 ARMA、ARIMA的改进方法
最小二乘球谐分析法(LS-HE) 变化特征显著区域效果较好 缺少主导水文变化规律区域效果较差 变化特征显著的区域 基于最小二乘原理和数据周期特征

2.2 基于辅助数据的GRACE/GRACE-FO缺失数据重建

在GRACE/GRACE-FO任务缺失数据重建过程中，仅依靠数理统计方法往往难以取得理想效果.为提高重建精度，可将多种类型的观测数据作为辅助和补充.本节将探讨两种不同类型观测数据的辅助方法，一种是利用其他卫星数据反演的结果直接进行填补，另一种是基于气候和水文数据作为辅助及约束的填补方法.

2.2.1 利用其他卫星数据反演的结果直接填补空缺信息

近年来，有不少学者利用其他卫星观测的结果对GRACE缺失月份的球谐数据进行重建，主要的研究方法包括：利用GNSS垂直形变观测的反演结果进行填补(Wu et al., 2003; Rietbroek et al., 2014)，使用Swarm低轨道卫星数据进行填补(Bezděk et al., 2016；Jäggi et al., 2016；Lück et al., 2018；Teixeira Encarnação et al., 2020)，结合卫星激光测距(SLR)反演结果进行填补(Tucker et al., 2022；Talpe et al., 2017)等.
(1) 利用GNSS垂直形变观测的反演结果进行填补
由于地表质量的再分布不仅会引起重力场的变化，还会使地壳发生大尺度形变，利用GNSS技术可观测到形变的大小并反演得到描述质量变化的球谐系数模型(Blewitt et al., 2001).Rietbroek等(2014)利用GPS数据反演的地表负荷数据对GRACE时间序列的模拟间断进行了填补，提出了三种填补方法：GPS-I(GPS-based Interpolation)、GPS-C(GPS-based Correction)、REF-S(Reference Signal-based Filling).在模拟的缺失数据中，GPS-C解在大部分情况下与GRACE解拟合情况较好.但在噪声水平方面，REF-S使用季节分量直接填补间断数据的结果甚至优于GPS-I和GPS-C方法，因为这两种方法容易受到空间混叠问题的影响.
随着跟踪站网空间覆盖的提高，GNSS测量已成为验证和补充全球重力长波长信号的可行工具(Wu et al., 2003；Zhong et al., 2020).但仅使用GNSS数据容易受到卫星轨道误差、冰川均衡调整(GIA)和板块运动等因素影响，地表负荷数据变化趋势的识别变得比较复杂，反演得到的表面负荷变化精度明显低于GRACE任务.同时，由于GNSS网络在全球许多地区仍比较稀疏，各个站点的GNSS时间序列包含许多难以分离的非负荷信号和与硬件相关的误差，导致使用GNSS数据进行数据重建仍有许多困难.
(2) 结合Swarm低轨道卫星数据重建GRACE/GRACE-FO缺失数据
欧洲航天局(ESA)Swarm卫星于2013年11月22日成功进入近极地低轨道，三颗完全相同的卫星分别为Swarm A、Swarm B和Swarm C，该卫星计划旨在提供时变磁场数据.
为了精确确定轨道，每个航天器都配备了一个8通道双频GPS接收器(Zangerl et al., 2014)和激光反射器以进行卫星激光测距.Swarm A和C以平均450 km的高度并排飞行，而Swarm B在515 km高度轨道飞行，这种星座结构以及Swarm的近极地和近圆形轨道为反演地球重力场提供了条件.近年来有学者发现利用卫星激光测距技术(SLR)或全球定位系统(GNSS)观测Swarm卫星星座可以提供具有较低空间分辨率的时变重力解(Wang et al., 2012；Bezděk et al., 2016；Jäggi et al., 2016；Lück et al., 2018)，从而为GRACE/GRACE-FO空缺数据填补提供了机会(Forootan et al., 2020；高瑀等，2021；陈威等，2022).采用动力学方法从Swarm运动轨道中反演时变重力场和静态重力场(Jäggi et al., 2016)，将该结果与从GRACE数据反演的重力场进行了比较，得出了Swarm任务可以反演长波长的时变重力信号(高达20阶)的结论.进一步，Lück等(2018)使用三种方法来填补GRACE缺失信息，选定1个月、3个月和18个月作为数据空缺(Lück et al., 2018).这三种方法包括：①对现有的GRACE月度球谐系数解反演的等效水高时间序列，在不引入其他信息的前提下直接插值填补等效水高序列缺失值；②使用月度Swarm球谐系数解进行相应空缺期的数据填补；③在使用Swarm数据进行重力场解算过程中，基于提取的常数项、趋势项、年度和半年度信号等信息进行等效水高时间序列中缺失数据的填补(Lück et al., 2018).对于单个月或三个月的短时间数据缺失，第一种方法表现更好，但在18个月的长时段数据缺失中，第三种方法的表现要优于其他方法.
采用独立成分分析(ICA)方法将GRACE反演的陆地水储量变化(TWSC)与Swarm卫星反演的低空间分辨率TWSC结合，基于空间域和时间域两种尺度，填补缺失值的同时提高Swarm TWSC的空间分辨率(Forootan et al., 2020).结果显示，使用基于ICA的GRACE和Swarm重力场数据重建方法具有良好的性能.
Wang F W等(2021)基于多通道奇异谱分析(MSSA)对GRACE空缺数据进行重建，将经过填补的重力场解与Swarm解进行比较.图 4呈现了GRACE 40阶重建球谐系数和Swarm解的相关系数，可以看出MSSA方法重建的GRACE球谐系数在阶次低于15时与Swarm解强相关，但在高阶次上相关性较弱，出现这种状况主要是由于Swarm解的噪声较大.此前有研究团队对Swarm解的噪声问题进行了研究，如Teixeira da Encarnação等(2016)建议采用截断至20阶来抑制过多的噪声，而Lück等(2018)建议将Swarm球谐系数的截断阶数设定为10或15.
图4 GRACE重建球谐系数模型与Swarm球谐系数模型相关性比较(修改自Wang F W et al., 2021)

Figure 4 Comparison of the correlation between reconstructed spherical harmonic coefficient model of GRACE and spherical harmonic coefficient model of Swarm (modified from Wang F W et al., 2021)

但值得一提的是，Swarm卫星的GPS天线为8通道，无法收集超过特定数量的GPS数据，这是Swarm卫星任务精确轨道确定的一个限制(Zangerl et al., 2014；Van den IJssel et al., 2015).因此，从Swarm动力学轨道反演的重力场尚不能取代GRACE和GRACE-FO卫星任务反演的重力场，但可以作为空缺期数据的补充.
(3) 利用SLR反演结果对GRACE/GRACE-FO数据缺失进行填补
卫星激光测距技术(SLR)自20世纪70年代以来一直用于跟踪地球重力场的长期变化，可提供地球重力场的低阶次球谐系数模型.
Qian等(2022)对GRACE/GRACE-FO三种以球谐系数形式的数据填补方法进行了系统分析和比较：①将高低星间跟踪技术(HLSST)与卫星激光测距(SLR)观测相结合得到缺失月份的球谐重力场；②使用GRACE解的经验正交函数作为基函数，从SLR观测中恢复时变重力场模型；③使用奇异谱分析法对GRACE球谐模型确实数据进行填补.结果比较显示，三种方法得到的球谐系数模型在12阶以内具有一致性；方法②和③具有相似的结果，但方法②显示海水平均质量变化的增长速度更快，而方法③更好地捕捉了陆地水储量的年际变化；方法①得到模型的高阶项(大于16阶)噪声水平显著增加，因此方法①仅适用于大尺度质量迁移区域的数据填补研究(Qian et al., 2022).

2.2.2 气候和水文数据作为辅助的GRACE/GRACE-FO缺失信息重建

(1) 基于经验回归关系重建GRACE/GRACE-FO缺失数据信息
已有研究比较了GRACE反演的水储量变化和水文模型(如GLDAS模型和WGHM模型)之间的差异，得出了它们之间存在良好一致性的结论(Chen et al., 2016)，为利用GRACE反演的陆地水储量变化时间序列与同期气候和水文数据(例如降雨、温度、海表温度和土壤湿度)之间的经验关系，重建GRACE/GRACE-FO数据缺失期的陆地水储量变化(Humphrey et al., 2017；Velicogna et al., 2020)提供了依据.其基本思路是：首先将GRACE反演的陆地水储量变化时间序列以及降雨和温度数据分解为线性趋势、年际、季节和高频残差变化成分，然后推导GRACE陆地水储量变化的去季节化(即年际成分和残差)成分与降雨和温度数据之间的关系，在研究区域范围内重建去季节化的陆地水储量变化.
数据驱动方法选择是建立陆地水储量变化与同期气候、水文数据间回归关系的关键.常用的数据驱动方法有主成分分析(PCA)、独立成分分析(ICA)、最小二乘法(LS)、Loess季节项和趋势项分解(STL)、有源自回归(ARX)、多元线性回归(MLR)等.
Li等(2020)在研究中采用不同的数据驱动技术，输入气候数据(降水、地表温度、海表温度、气候指数)重建1992—2002年和2017—2018年GRACE陆地水储量变化(TWSC)时间序列，研究发现，ARX和人工神经网络(ANN)方法在模拟目标变量方面比MLR算法更好，但也存在过度拟合问题，在预测方面不够稳健；PCA-LS-MLR是预测和重建所有河流流域的GRACE TWSC最稳健的组合方法.同时，研究中发现使用降水和温度等数据模拟的陆地水储量变化时间序列与GRACE和GRACE-FO反演的时间序列相比会存在一个滞后的相位差，在后续研究中需要进行修正.
Humphrey等(2017)将GRACE监测到的水文信号分解为线性趋势、年际、季节和高频亚季节等四个主要项.分解过程中，使用heil-Sen斜率来确定线性趋势项，使用Loess季节项和趋势项分解(Seasonal-Trend Decomposition Using Loess，STL)得到年际项、季节项和高频次亚季节项.在此基础上，基于降水和温度数据重建了TWS时间序列的统计模型，重点捕捉了年际和亚季节变化项.这种方法适用于较短时间内且有气候驱动因素的水储量变化，强调了在陆地水储量变化分析中关注更短时间项的重要性.
Zhang X等(2022)利用水文数据来填补GRACE和GRACE-FO任务间空缺数据，基于温度参量的雪水动态模块和线性修正量来表示径流、雪水动态变化，测试结果表明，水文模型可以成功地重建GRACE/GRACE-FO在热带、温带和大陆性气候下的陆地水储量变化时间序列，但在干旱气候下还需要进一步改进.
(2) 利用机器学习方法重建GRACE/GRACE-FO缺失数据信息
近年来，地球系统大数据的涌现和大量可用的低成本网络计算服务再次引发了地学领域对机器学习的浓厚兴趣，在GRACE和GRACE-FO缺失信息重建工作中，机器学习的应用越来越广泛(Sun et al., 2019，2020).卷积神经网络(CNN)(Sun et al., 2019)、深度神经网络(DNN)、极限梯度提升(XGBoost)(Sun et al., 2021)、长短时记忆(LSTM)(Wang F et al., 2021)、多层感知器(MLP)(Lai et al., 2022)、随机森林(RF)(Jing et al., 2020)、人工神经网络(ANN)(Dos Santos and Pereira Filho，2014)、小波-人工神经网络(Wavelet-Artificial Neural Networks，WA-ANN/WNN)(Moosavi et al., 2013)、支持向量回归(Support Vector Regression，SVR)(Mukherjee and Ramachandran, 2018)、反向传播神经网络(Backpropagation Neural Network，BPNN)(Zhang B et al., 2022)等方法都被应用于陆地水储量变化及GRACE/GRACE-FO缺失信息重建的研究.
Long等(2014)利用人工神经网络(ANN)模型，结合GRACE卫星数据、GLDAS数据等数据，分析了中国西南部云贵高原及其子区域的陆地水储量变化及其长期趋势.此后ANN模型被广泛用于使用水文气候变量重建陆地水储量缺失信息的研究(Sun et al., 2019，2021；Li et al., 2020；Sahour et al., 2020；Sun et al., 2020).
Sun等(2019)应用深度卷积神经网络(Convolutional Neural Network, CNN)来分析基于GRACE数据反演的陆地水储量变化和GLDAS-NOAH陆地表面模型中降水、温度和土壤湿度作为变量模拟的水储量变化之间的空间和时间不匹配模式，并以此继续校正模型模拟的陆地水储量变化场，并应用于印度地区GRACE/GRACE-FO任务空缺期水储量数据的填补.
Sun等(2020)借鉴自动化机器学习(AutoML)工作流程来进行GRACE/GRACE-FO空缺数据的重建，在美国范围内使用六种机器学习模型和多组气象数据作为预测因子，经过模型训练外推到任务间断期，与GRACE-FO观测期间(2017年6月之后)数据保持良好的一致性，特别是在湿润和低灌溉强度区域，所有模型表现得都比较好，但在干旱和强度高的灌溉区域不同模型则存在显著差异.
徐鹏飞等(2021)在研究中对小波神经网络(WNN)方法与SSA方法重建效果进行了比较，通过不断调试学习速率、隐含层节点数等参数构建预测模型，发现WNN方法计算效率较低，且因为缺少相关约束，某些流域构建的预测模型并不适用.
Mo等(2022)基于水文气候数据驱动的贝叶斯卷积神经网络(Bayesian Convolutional Neural Network, BCNN)来重建GRACE和GRACE-FO反演的陆地水储量变化时间序列在两个卫星任务之间的空缺，将BCNN的重建结果与Swarm解以及近期三个TWSA预测产品(Humphrey and Gudmundsson, 2019；Li et al., 2021；Sun et al., 2020)进行比较，结果表明，BCNN在陆地水储量变化时间序列预测方面具有卓越性能，特别是在相对干旱地区.此外，与流域尺度的两个独立数据集进行比较表明，BCNN获取的连续陆地水储量变化时间序列可靠地重建了数据间断并增强了数据的一致性.
针对上述研究，表 3对基于机器学习的GRACE/GRACE-FO缺失数据重建方法进行了对比归纳，此外，Wan等(2023)对多种机器学习数据重建算法进行了比较，发现没有统一的机器学习算法可以适用于全球各个地区的TWSA时间序列重建.因此，建议将全球划分为格网，通过建立一个框架使每个格网点能选择最佳的时间序列缺失信息重建策略，并将TWSA时间序列重建结果与两个外部观测数据(即基于SLR的TWSA时间序列和基于Swarm的TWSA时间序列)以及两个近期的全球高质量的TWSA时间序列重建结果(Li et al., 2021；Mo et al., 2022)进行了比较，结果显示该研究的数据重建框架可以较好地实现TWSA时间序列重建效果.
表3 常用基于机器学习方法的GRACE/GRACE-FO缺失数据重建方法比较

Table 3 Typical GRACE/GRACE-FO data reconstruction based on machine learning methods

方法 优点 缺点 适用性范围 方法特点
人工神经网络(ANN) 方法相对简单高原地区预测精度较高 小流域预测性能较差 大范围地区(如整个高原区) 根据不同的预测目标选择输入预测因子组合
卷积神经网络(CNN)结合物理模型 可补偿物理模型的不足 低估了部分气候事件(干旱事件) 大范围地区 结合了物理模型和深度学习的优势
自动化机器学习(AutoML) 组合了多种预测算法 计算效率较低，模型训练时间通常较长 大规模水文模拟和预测系统 模型训练包括DNN、GBM、XGBoost等多种算法
结合MSSA与BPNN重建模型 与MSSA基础方法和大多数基于ANN的方法相比效果更好 在部分区域重建精度较低(尼罗河、巴西、印度等) 全球热点区域和主要河流流域 结合了MSSA的稳定性和BPNN在处理复杂关系方面的准确性
长短时记忆模型(LSTM) 模型生成的时间序列与原始数据具有高度一致性 需要较多数据进行有效训练，且可能存在过拟合的风险 长时间序列受限和水文地质特征复杂的区域 可使用土壤湿度、蒸散发、降水和温度数据生成时间序列
结合随机森林(RF)和极限梯度提升(XGB)模型 可量化每个变量对模型的贡献度和相对重要性 需要较多数据进行有效训练，且可能存在过拟合的风险 数据有限的长时间序列 使用两种机器学习算法结合空间移动窗口结构

2.2.3 代表性缺失信息建模方法比较分析

以长江流域为例，使用长短时记忆法(LSTM)对GRACE数据反演的陆地水储量变化时间序列进行建模并预测.前80%数据作为训练集，用来对数据进行建模，后20%数据作为测试集，对模型预测的准确度进行评定.
在LSTM进行建模时，引入自适应噪声经验模态分解法(CEEMDAN，Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise)将时间序列分成5个IMF分量分别进行建模并联合开展预测，结果如图 5所示.蓝线为长江流域原始水储量变化序列，橙线为对数据进行建模后回归的结果，绿线为使用模型进行预测的结果.可以看到，基于CEEMDAN的LSTM预测结果，在测试集的准确度要优于直接使用LSTM进行预测的结果.
图5 CEEMDAN-LSTM及直接使用LSTM的建模预测结果

Figure 5 Modeling and prediction results using CEEMDAN-LSTM and direct LSTM

作为对比，分别对长江流域水储量变化未进行经验模态分解的时间序列使用长短时记忆法(LSTM)、支持向量机(SVM)、随机森林(RF)进行建模并预测，并与迭代奇异谱分析法(ISSA)预测结果进行比较，表 4给出各种模型预测的精度评定，以没有进行经验模态分解的LSTM预测的结果作为评定基准，可以看到，在训练集中预测结果较好的模型分别是RF与CEEMDAN-LSTM，其预测结果与真实值的均方根误差分别为22.43和26.8，决定系数(R-Squared)均超过了0.9，并且预测精度相对基准模型LSTM分别提高了50.6%和40.1%.
表4 CEEMDAN-LSTM及各模型预测精度评定

Table 4 Evaluation of prediction accuracy for CEEMDAN-LSTM and other models

RMSE 决定系数 预测精度提升率/%
训练结果 LSTM 45.42
CEEMDAN-LSTM 26.8 0.91 41
SVM 50.46 0.67 -11.1
RF 22.43 0.93 50.6
ISSA 29.02 0.89 36.1
测试结果 LSTM 76.66
CEEMDAN-LSTM 46.97 0.68 38.7
SVM 73.96 0.23 3.5
RF 71.23 0.28 7.1
ISSA 146.57 -2.12 -91.2
事实上，由于神经网络本身就是一个强拟合器，可以逼近一切函数.在训练集中，只要迭代训练的次数足够多，神经网络总能拟合出一个近似无差的结果，只是这种过拟合会导致模型失去泛化能力，从而在测试集中无法很好地得到预测结果.因此，尽管RF模型在训练集中精度很高，但是在测试集中，与LSTM模型精度几乎相同.而CEEMDAN-LSTM在测试集中依然能较好地预测长江流域水储量的变化，其决定系数达到0.68，可以较好地解释长江流域水储量的变化特征.
ISSA预测是基于已知数据的周期、趋势等固有特征，对未知异常极值的预测能力要远远弱于深度学习等方法.在本例中，ISSA方法在训练集中迭代预测精度较高，但由于测试集中存在异常极值，其预测的结果非常差.
综上，基于机器学习的GRACE/GRACE-FO缺失数据重建方法相较其他方法，能够对复杂非线性关系进行建模，同时不易受时间序列中异常信号的影响，且预测精度较高.然而，尽管相关研究已经利用水文和气候因子等多种辅助数据对陆地水储量变化时间序列缺失信息进行了重建，这些研究或基于深度学习模型，或基于传统相关统计方法，但深度学习模型背后的原理尚未被完全理解，在实际应用中当估计值超出校准范围时，可能会引入其他的不确定性.此外，目前多数机器学习的重建工作主要集中在研究单一算法相较于其他算法的性能优势，以及试图找到一种在大多数情形下均表现较好的算法.但是，参数预测能力在不同区域可能会表现出一定的差异性，没有一种算法可以在全球范围中始终优于其他算法.因此，与其专注于训练和应用单一算法以适用于所有研究区域，从而冒着模型泛化的风险，不如使用系统化的方法在不同区域训练和调整独立的机器学习模型，并以统一的标准选择每个区域的最佳模型，以实现数据重建的最佳性能和可重复性.

3 结论

GRACE和GRACE-FO任务在理解地球内部质量变化具有不可或缺的作用，如何在现有研究方法的基础上更好重建数据缺失仍是一项至关重要的任务.本文按照所使用数据类型的不同，将当前国内外关于GRACE/GRACE-FO缺失数据的重建方法划分为两大类：一是基于数理统计方法的GRACE/GRACE-FO缺失数据重建，二是基于辅助信息的GRACE/GRACE-FO缺失数据重建.
两类方法各有优劣，在开展后续相关研究时，需根据现有数据及研究需求选择适当的重建方法.使用基于数理统计方法的GRACE/GRACE-FO缺失数据重建计算原理简单且计算量小，使用比较方便；但由于没有引入其他辅助信息，原始数据精度对重建结果影响较大，而且重建过程中出现的参数失真等问题也会影响缺失数据的重建效果.目前，辅以降水和温度等数据或其他卫星数据的缺失信息重建方法，在理论上可以完整地重建GRACE/GRACE-FO质量变化时间序列空缺，在实际应用中，只有在辅助观测完整且数据质量高的区域才能具有较好的重建结果，但当前相当部分区域的辅助观测数据难以满足现有缺失信息的建模要求.因此，针对不同区域的水文和气候变化特征，近年来采用深度学习工具并结合各种辅助数据进行GRACE/GRACE-FO缺失数据的重建仍然是时变重力应用研究的热点.

感谢审稿专家提出的修改意见和编辑部的大力支持！

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