3D gravity anomaly forward and inversion algorithm based on improved LinkNet

YuJie ZHANG; HouPu LI; MengXin QIU

doi:10.6038/pg2024HH0411

Progress in Geophysics >

2024 , Vol. 39 >Issue 6: 2219 - 2231

DOI: https://doi.org/10.6038/pg2024HH0411

3D gravity anomaly forward and inversion algorithm based on improved LinkNet

YuJie ZHANG ^,¹ ,
HouPu LI ^,²^,* ,
MengXin QIU ¹

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¹ School of Mathematics and Physics, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China
² College of Electrical Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430074, China

Received date: 2024-05-17

Online published: 2025-01-14

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Abstract

gravity exploration is one of the most widely used geophysical methods in geophysics exploration by measuring gravity anomalies caused by density anomalies and interpreting the underground density anomalies qualitatively and quantitatively. Because 3D inversion of physical properties can describe the study object of geological structure more precisely, it has become a conventional method for quantitative interpretation of gravity anomaly data. Based on LinkNet, the forward and inverse methods of 3D gravity anomaly are studied in this paper. The forward network is constructed on the basis of Residual network to realize the mapping from underground density anomaly to gravity anomaly data. The loss function uses MSE loss, which constrains the real gravity anomaly data and the prediction value of the gravity anomaly output of the forward network. The encoder module of the inversion network is changed to the form of dense connection, and the mapping of gravity anomaly data to underground density anomaly body is studied. The loss function uses Dice loss to constrain the similarity between the real density anomaly and the density anomaly predicted by the inversion network. The data loss and the model loss are constrained by the forward network and the inverse network to reduce the non-uniqueness of the solution. By comparing with the method of training only inversion network, it is found that the average relative error of training both forward and inversion network is lower on the conventional data set, which verifies the effectiveness of the method, the effect of the network is further verified on the random model and five conventional models. Finally, the effect of the network on real field data is tested.

Key words： Gravity forward modeling; Gravity inversion; LinkNet; Residual network; Deep learning

Cite this article

YuJie ZHANG , HouPu LI , MengXin QIU . 3D gravity anomaly forward and inversion algorithm based on improved LinkNet[J]. Progress in Geophysics, 2024 , 39(6) : 2219 -2231 . DOI: 10.6038/pg2024HH0411

0 引言

地球物理勘探的主要目的之一是通过研究和观测各种地球物理场的变化，来探索地质构造与资源分布.重力勘探具有高效率、低成本、勘探深度大等优点，因此成为地球物理勘探中应用最广泛的物探方法之一.作为重力数据定量解释的重要环节，重力异常反演利用地面或航空等实测数据恢复未知地下空间的密度分布，揭示地下地质构造，达到寻找目标地质体的目的(柳建新等, 2016; Liang et al., 2014).近年来，随着重力异常反演及解释研究的深化，二维反演已经难以满足精细确定地质构造的需求，反演逐步发展到三维反演.

地球内部物质组成及结构的复杂性决定了地球物理反演问题的非线性属性(陈丽虹等, 2002).常用的重力异常反演方法主要分为线性反演(Li and Oldenburg, 1998; Rezaie, 2019)和非线性反演(Qin et al., 2016; Pallero et al., 2015; Liu et al., 2014).线性反演是将非线性问题线性化，主要优点是简单易行，在许多情况下可取得较好的结果，但在反演迭代中容易陷入局部极小值，且反演结果极大程度上取决于初始模型，导致反演结果不稳定.因此，现在越来越多的学者采用非线性方法进行反演，其中神经网络方法凭借其独特的学习记忆方法及强大的非线性映射能力，在海量数据中展现出良好的学习能力.近年来，这种方法在地球物理反演中得到广泛应用(Adler and Öktem, 2017; Aggarwal et al., 2019; Zhang et al., 2017；王逸宸等，2020).

随着深度学习理论的发展，卷积神经网络被成功应用于图像识别、语音识别、语义分割等方面，吸引了大量地球物理学者对此进行研究.Puzyrev(2019)利用全卷积神经网络(Fully Convolutional Neural Networks, FCN)对井中垂直磁偶极子源发射地面接收的特殊装置类型的电磁数据进行二维反演；张志厚等(2021b)等提出一种基于FCN的磁反演网络MagInvNet，并将其应用于磁异常与磁梯度反演中；Noh等(2020)利用深度神经网络对频率域航空电磁数据进行了一维反演，与传统的高斯-牛顿反演方法相比，反演结果在合成数据量较少时仍然具有较高的分辨率；Wang等(2021)利用重力观测等值线图作为输入，通过卷积神经网络进行重力异常体识别；Zhang等(2022)提出了一种基于编码器解码器结构的神经网络反演方法；张志厚等(2021a)基于深度学习方法提出了重力反演(Gravity Inverse Net, GraInvNet)网络结构，实现了重力异常和重力梯度联合反演，并将该方法应用于美国路易斯安那州的Vinton盐丘区域实测数据的反演，验证了该方法在实测数据反演中的有效性.

三维重力异常反演问题与二值图像语义问题类似，因此在解决反演问题时可以借鉴图像语义分割网络结构.LinkNet作为轻量级语义分割网络，能够在保证精度的前提下，有效减少网络参数量，大幅度缩短网络训练所需时间.因此，本文基于LinkNet网络求解重力异常反演问题，并在五种常规模型以及实际的数据上对网络效果加以验证.

1 模型介绍

1.1 重力正演

重力正演是已知地下地质体的物性参数来计算该地质体在地表引起的重力异常.重力正演是反演的基础，在反演求取场源体前，必须通过正演计算了解不同形状、位置、密度的地质体引起的重力异常.正演与反演的关系如图 1所示.

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图1 正演与反演关系示意图

Fig 1 Schematic diagram of relationship between forward modeling and inversion

计算重力正演时，一般会使用简单规则几何体作为基本离散单元进行近似：一方面复杂形体在距离观测点足够远时，可近似当作规则形体进行研究；另一方面，简单的规则形体给出了具有普遍性的典型异常特征，这对指导异常体的识别，分类和解释都有着极其重要的现实意义.依据选取的近似单元，学者们提出了不同的数值计算方法.由于矩形棱柱体便于进行网格剖分，因此成为位场正演计算中最为常用的立体模型，任何复杂的三维地质体模型都可以通过网格剖分为一系列矩形棱柱体单元，从而将复杂地质体的三维重力异常正演计算转化为矩形棱柱单元重力异常的叠加，则整个正演过程公式可简写为(李泽林等, 2019)：

$\boldsymbol{d}=\boldsymbol{G} \boldsymbol{m}, $

其中d为N的重力异常观测向量，m为M的地下剩余密度向量，

$N \ll M . \boldsymbol{G} $

为核矩阵，大小为N×M，矩阵中的元素定量描述了第j个小单元在第i个观测点重力异常值的贡献程度.

根据上述公式，我们可以将模型正演归纳为以下步骤：

Step1：确定待测区域大小和观测面尺寸.

Step2：将地下空间划分成大小相等，紧密排列的长方体单元.

Step3：根据剖分形式计算核矩阵.

Step4：利用式(1)计算观测面重力异常.

1.2 重力反演

正演是计算模型在观测点处的响应，而反演则是其逆计算的过程.反演是通过测量与围岩有密度差异的地质体在其周围引起的重力异常，来确定这些地质体存在的空间位置、大小和形状，从而对工作区域的地质构造和矿产分布情况做出判断.即求解线性反问题

$\boldsymbol{m}=\boldsymbol{G}^{-1} \boldsymbol{d}. $

由于观测数据的维度N远小于密度模型的维度M，因此重力反演问题为欠定性问题，解不唯一，即存在多种地下密度模型能够引起同样的重力异常观测数据(李泽林等, 2019).

1.3 网络反演方法

重力异常反演问题实质上就是根据地表测量出的观测数据，反解地下半空间中导致这种异常的密度模型.基于神经网络的方法通过训练网络学习重力数据到密度模型间的非线性映射关系，实现重力异常反演，在形式上可以表示为：m=Net(d)，其中Net(·)表示网络模型.神经网络反演流程如图 2所示.

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图2 神经网络反演流程图

Fig 2 Neural network inversion flowchart

1.4 网络介绍

Wang等(2021)采用正演网络与反演网络相结合的闭环全卷积残差网络(Closed-Loop Fully Convolutional Residual Network, FCRN)，解决深度学习方法进行地震速度反演中数据量有限的问题，减弱网络对数据量的需求.其中，正演网络使用反演目标作为输入，反演网络从地震数据中预测反演目标，两个子网络互为逆问题，形成闭环.目前有部分学者采用类似思路的构造网络，应用于地震反演中(Wang et al., 2020).本文解决重力异常反演问题的思路借鉴上述闭环网络的方法，首先构造一个反演网络学习重力异常数据到地下密度分布的映射：

$\hat{\boldsymbol{m}}=\operatorname{backwardNet}(\boldsymbol{d}) \triangleq B(\boldsymbol{d}), $

反演网络的损失函数为模型损失，即：

$L_{\text {backward }}=\operatorname{loss}(\boldsymbol{m}, \hat{\boldsymbol{m}}) .$

然后，构造一个正演网络学习密度模型到重力异常数据的映射：

$\hat{\boldsymbol{d}}=\text { forwardNet }(\boldsymbol{m}) \triangleq F(\boldsymbol{m}), $

正演网络的损失函数为数据损失，即：

$L_{\text {forward }}=\operatorname{loss}(\boldsymbol{d}, \hat{\boldsymbol{d}}), $

其中backwardNet(·)表示反演网络，forwardNet(·)表示正演网络，

$ \hat{\boldsymbol{m}}$

表示反演网络预测的密度模型，

$\hat{\boldsymbol{d}} $

表示正演网络预测的重力数据.

将重力异常数据d输入到反演网络中，再将反演网络预测的密度模型

$\hat{\boldsymbol{m}} $

作为正演网络的输入，通过正演网络计算得到预测模型的预测重力异常

$\hat{\boldsymbol{d}} $

，使用反演网络中的密度模型损失和正演网络中的重力异常数据损失同时对网络进行约束，形式为：

$L_{\text {总 }}=L_{\text {backward }}(\boldsymbol{m}, B(\boldsymbol{d}))+L_{\text {forward }}(\boldsymbol{d}, F(B(\boldsymbol{d}))) .$

具体步骤如下：

Step1：使用m作为数据，d作为标签，训练正演网络，保存网络参数.

Step2：在反演网络后连接预训练好的正演网络，把两部分看成一个整体共同训练，其中反演网络的输入为d，标签为m，反演网络的输出为

$\hat{\boldsymbol{m}} $

，将

$\hat{\boldsymbol{m}} $

作为正演网络的输入，得到预测的重力异常数据

$\hat{\boldsymbol{d}} $

.正演网络与反演网络的损失函数分别为数据损失L_forward和模型损失L_backward，使用两部分损失对网络中的参数进行更新.训练至网络收敛，保存网络参数.

Step3：将测试的重力异常数据输入到训练好的反演网络，得到预测区域的地下分布.

1.4.1 正演网络结构

正演网络的目的是学习密度模型到重力异常数据的映射，主要的网络结构包含图 3中两种残差块结构，每个残差块主要由两个卷积层、批量归一化层和ReLU激活函数构成.网络中包含的所有残差块左侧主干路径的结构相同，且主干路径第二个卷积层的步长均为1.若残差块在主干路径改变了特征图的大小或通道数，即第一个卷积层的步长大于1或残差块的输入通道数与输出通道数不相同，采用图 3a所示结构，通过右侧1×1的卷积层调整输入大小，对特征图进行升维或降采样操作，使残差块的输入与输出的结果形状保持一致，便于后续进行对应值相加；其余情况则使用图 3b所示结构.

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图3 网络残差块结构

Fig 3 Network residual block structure

图 4展示了输入是大小为16×32×32的三维密度模型m，输出是1通道32×32大小的重力异常数据

$\hat{\boldsymbol{d}} $

时，正演网络的具体结构示意图.

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图4 正演网络结构

Fig 4 Forward network structure

正演网络训练使用的损失函数为均方误差(Mean-Squared Error，MSE)，通过最小化重力异常真实值与正演网络输出的预测值之间的误差进行参数更新，损失函数的表达式如下：

$L_{\text {forward }}=\operatorname{Loss}(\boldsymbol{d}, \hat{\boldsymbol{d}})=\frac{1}{K} \sum\limits_{i=1}^K\left\|\boldsymbol{d}_i-\hat{\boldsymbol{d}}_i\right\|_2, $

其中K为训练样本个数，d_i为第i个样本重力异常真实值，

$ \hat{\boldsymbol{d}}_i$

为正演网络输出的第i个样本重力异常的预测值.

1.4.2 改进的LinkNet反演网络

重力异常反演问题可以类比为二值图像分割问题，因此反演网络可以借鉴图像分割中的经典网络结构(Shelhamer et al., 2017; Chaurasia and Culurciello, 2017).LinkNet网络于2017年被提出，并应用于语义分割领域(Chaurasia and Culurciello, 2017).以训练轻量级实时分割网络为核心目标，LinkNet网络在保证模型精度的前提下，着重考虑提升模型的效率.LinkNet网络的结构与经典图像分割网络U-Net(Ronneberger et al., 2015)类似，采用了编码-解码的结构，在编码器部分进行特征提取，将输入编码到低维特征空间上，然后在解码器中对低维空间进行重构.

图 5为LinkNet的网络结构示意图，主要由四个编码器(Encoder)和解码器(Decoder)子模块构成.通过将每个编码器的输出与对应的解码器的输入在通道维度上对特征图对应位置相加，达到信息融合的目的，在一定程度上提高模型精度.编码器部分，采用ResNet18为主干结构的编码模块进行下采样；在解码器部分，将模型上一层的输出与对应编码器的输出在通道维度上相加的结果作为解码器模块的输入，采用通道数与编码器模块对应的反卷积操作进行上采样，恢复特征图大小.在通道维度上相加主要是为了保留更多的浅层信息，避免Encoder模块多次下采样后空间信息丢失.与U-Net相较而言，LinkNet中所提出的这种类似于残差网络跳跃连接的信息传递方式可以有效减少模型参数量.

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图5 LinkNet网络结构示意图

Fig 5 LinkNet network structure diagram

为了在同等精度下减少模型的参数量，本文对LinkNet网络做了进一步改进，将编码器子模块中的网络由残差结构替换为DenseNet中的具有稠密连接形式的Dense模块.DenseNet(Huang et al., 2017)的基本逻辑与ResNet一致，通过建立前后层之间的连接，有助于训练过程沿梯度的反方向传播，训练出更深的网络.区别于ResNet中残差块的跳跃连接形式，DenseNet提出了一种更激进的稠密连接机制，对每个Dense模块相互连接模块中所有的层，对不同层在通道维度上叠加，每个层都会接收前面层的输出作为额外的输入，这种特征复用的方式可以有效避免浅层信息丢失，提升模型效率，更好地复原丢失的空间信息.图 6为本论文实验中网络编码器模块示意图，每个编码器子模块由4个卷积核大小为3×3的卷积层组成，每个卷积层后连接批量归一化层和ReLU激活函数，同一编码器模块中的卷积层使用Dense模块中的特征复用形式.在一个Dense模块中，每个卷积层的输入都是当前模块的输入和前几个卷积层输出特征图在通道维度叠加形成的，通过建立不同层之间的稠密连接关系，加强特征传递，实现特征复用.

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图6 编码模块结构示意图

Fig 6 Schematic diagram of encoding module structure

图 7是解码器模块结构示意图，主要由一个卷积核大小为1×1，步长为1的卷积层和一个卷积核大小为3×3，步长为2的反卷积层组成，在每个卷积层和反卷积层后都加入了批量归一化层调整数据分布，并通过激活函数进行非线性化，在一定程度上避免网络训练过程中的梯度消失问题.其中，1×1的卷积层的作用是调整输入输出通道数，反卷积层的作用是对特征图进行上采样，将特征图的长宽都扩大一倍.

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图7 解码模块结构示意图

Fig 7 Schematic diagram of decoding module structure

编码器执行特征编码过程，逐渐缩减输入数据的空间维度，对原始输入进行特征提取，将输入图像转化为低分辨率的图像特征.解码器执行解码过程，逐步恢复编码器丢失的目标细节和空间维度，将低分辨率的图像特征特征映射为像素级标签.

在反演问题中，由于矿体所占的体积远小于围岩的体积，导致在单个样本中矿体与围岩存在类别不平衡的情况，会使网络倾向于往数量多的类别进行预测，这与图像分割中类不平衡问题相似，因此反演网络部分的损失函数使用Dice损失函数，它适用于样本分布不均衡的问题(Milletari et al., 2016).Dice损失函数的形式如下：

$L_{\text {backward }}=\text { DiceLoss }=1-\frac{2|\boldsymbol{m} \cap \hat{\boldsymbol{m}}|}{|\boldsymbol{m}|+|\hat{\boldsymbol{m}}|}, $

其中m为真实密度模型，

$\hat{\boldsymbol{m}} $

为反演网络预测的密度模型，

$ |\boldsymbol{m} \cap \hat{\boldsymbol{m}}|$

表示密度模型在真实值与预测值之间的交集，

$|\boldsymbol{m}| \text {和}|\hat{\boldsymbol{m}}| $

分别表示真实密度模型和网络预测的密度模型的元素个数，Dice损失函数的取值范围在0到1之间.

1.4.3 本文网络结构

本文通过正演反演相结合的方式，将反演网络预测得到的密度模型作为正演网络的输入，同时约束模型相似度和重力异常残差值.使用预训练好的正演网络，辅助反演任务，训练流程如图 8所示，其中B表示反演网络，F表示正演网络.网络在参数更新时，依次通过反演网络和正演网络进行反演计算和正演计算，按照式(6)中的总损失函数对正演网络和反演网络的参数进行更新，直至网络收敛，分别保存训练好的正演网络和反演网络的参数.

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图8 网络训练流程图

Fig 8 Network training flow chart

2 实验

2.1 数据集构建

在实验中，训练集和验证集均为随机游走模型，其中随机模型产生方式采用文献(Huang et al., 2021)方法：在地下空间中随机放置一个或者两个单元体，每个单元体由8个立方块组成，使每个单元体向随机方向(上、下、左、右、前、后)移动一个单元长度(100 m)，总共移动步

$ s\left(s \in\left[S_1, S_2\right]\right) . S_1, S_2$

的选取主要依据于目标矿区的矿藏储量估计或是已知的地球物理信息.测试集为随机游走模型和5种常规模型，重力异常的观测面为大小为1600 m×1600 m的区域，观测深度为地表下0.1 m处.对长为1600 m，宽为1600 m，深度为800 m的地下区域进行网格剖分，每50 m为一个划分点，可以将地下半空间划分成16×32×32个小正方体，对应的地面上的观测点为32×32个.

首先生成地下半空间中的密度模型m，再根据d=Gm计算得到密度模型对应的重力异常数据.随机密度模型生成伪代码如算法1所示.

算法1 生成单个随机游走模型

Input：最小移动次数 step₁，最大移动次数 step₂
Output：密度模型m
1：在{1, 2}中随机初始化模型个数 n
2：if (n == 2) then
3：  step₁ = step₁ // 2
4：  step₂ = step₂ // 2
5：end if
6：在[step₁, step₂]内随机初始化移动次数 steps
7：for (i = 0; i＜n; i++) do
8：  随机初始化起始点
9：  for (step = 1; step＜steps; step++) do
10：    随机选择x, y, z轴，随机选择正负方向，将起始点移动一个单位
11：    若出界则移动到边界位置
12：  end for
13：end for

图 9是对生成的随机数据集进行可视化的结果，图 9a、c分别为单个密度模型和对应的重力异常数据，图 9b、d分别为两个密度模型组合体和对应的重力异常数据.图中红色区域为地质体部分，密度值设置为1.0 g/cm³，其余围岩部分密度值设置为0 g/cm³, {d, m}构成一个数据对.实验中使用10000对随机游走数据训练上述网络，训练集和验证集的比例为9:1.

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图9 随机模型可视化图

(a)单个密度模型；(b)两个密度模型组合；(c)图(a)对应的重力异常数据；(d)图(b)对应的重力异常数据.

Fig 9 Visualization of random model

(a) The single density model; (b) The combination of two density models; (c) The corresponding gravity anomaly data of Fig.(a); (d) The corresponding gravity anomaly data of Fig.(b).

2.2 评价指标

本文采用反演结果与真实密度模型的相对误差，来反映反演网络的可信程度，计算方式为：

$\delta=\frac{\|\hat{\boldsymbol{m}}-\boldsymbol{m}\|_2}{\|\boldsymbol{m}\|_2}$

其中，

$\hat{\boldsymbol{m}} $

为网络预测的密度模型，m为真实的密度模型.

2.3 仿真实验

(1) 常规模型

常规模型如图 10所示，异常体的密度值均设置为1.0 g/cm³，分别为type1：单立方体模型，type2：单阶梯模型，type3：交叉双台阶模型，type4：双长方体模型，type5：同向双阶梯模型：

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图10 常规模型

(a)单立方体模型；(b)单阶梯状模型；(c)交叉双台阶模型；(d)双立方体模型；(e)同向双阶梯模型.

Fig 10 Conventional model

(a) Single cube model; (b) Single step model; (c) Cross double step model; (d) Double cube model; (e) Same-direction double step model.

下面通过测试常规模型和随机模型在反演网络上的效果，验证网络的性能.由于真实模型设置的密度值为1.0 g/cm³，为了方便展示，下面在对实验结果进行可视化时，只显示密度值大于等于0.5 g/cm³的部分.

图 11展示了常规模型中同向双阶梯模型反演的结果，其中图 11a为真实密度模型，图 11b为真实模型在950 m处的yoz剖面图，图 11c为反演网络预测的密度模型，图 11d为预测模型在950 m处的yoz剖面图.从图 11c可以看出网络反演出的模型位置正确，边界清晰，从图 11d可以看出反演的预测值基本在圈定范围内，且模型在埋深浅的地方反演出的值也比较准确，在埋深深的地方反演出的值相对埋深浅的部分较小，但反演出的轮廓基本准确，反演的平均相对误差为0.32.

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图11 同向双阶梯模型反演结果

(a)真实密度模型；(b)真实密度模型的yoz剖面图；(c)预测的密度模型；(d)预测模型的yoz剖面图.

Fig 11 Inversion results of the same-direction double step model

(a) True density model; (b) yoz section of the true density model; (c) Predicted density model; (d) yoz section of predicted model.

(2) 随机模型

图 12和图 13分别为单个密度异常体和两个密度异常体的随机模型反演结果，图(a)为真实密度模型，图(b) 为真实模型在埋深50 m处的xoy剖面图，图(c) 为真实模型在埋深250 m处的xoy剖面图，图(d)为反演网络预测的密度模型，图(e)为预测模型在埋深50 m处的xoy剖面图，图(f)为预测模型在埋深250 m处的剖面图.从模型可视化图上可以看出，网络在随机模型上的反演效果不如常规模型好，在深度较浅处对异常体边界和密度值的反演大致准确，原因是随机模型的复杂度高于常规模型.从模型的xoy剖面图可以看出，随着模型深度增加，反演效果递减.

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图12 单个随机模型反演结果

从左到右依次为密度模型、模型深度50 m处的xoy剖面图、模型深度250 m处的xoy剖面图.
(a)、(b)、(c)为真实模型；(d)、(e)、(f)为反演结果.

Fig 12 Inversion results of single random model

From left to right, they are density model, xoy profile at the model depth of 50 m, and xoy profile at the model depth of 250 m.
(a), (b), (c) are the true model; (d), (e), (f) are the inversion results.

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图13 两个随机模型反演结果

从左到右依次为密度模型、模型深度50 m处的xoy剖面图、模型深度250 m处的xoy剖面图.
(a)、(b)、(c)为真实模型，(d)、(e)、(f)为反演结果.

Fig 13 Inversion results of two random models

对测试集中100个随机模型的的反演结果进行比较，反演出的密度值大于等于0.5的保留，否则置为0.按照不同的埋深统计真实模型和反演结果中每层非零的平均块数，可视化结果如图 14所示.图中横轴为地下半空间按50 m剖分后的层数，纵轴为每层对应的随机模型值非零的平均块数，绿色曲线为真实密度模型对应的结果，蓝色曲线为网络预测的密度模型对应的结果.从图中可以看出，反演网络在浅层反演的块数比真实模型多.在埋深超过400 m处反演的块数相对较小，且反演出的块数少于真实值.该结果表明，反演网络倾向于在浅层反演出多余的块体，即“趋肤性”.

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图14 随机模型反演结果按层块数分布图

Fig 14 Distribution map of random model inversion results according to layer block number

2.4 消融实验

对比五种常规模型在只训练反演网络和同时训练正、反演网络下的平均相对误差，如表 1所示.结果表明，在五种常规模型上，同时训练正、反演网络的平均相对误差都比只训练反演网络的小，说明该方法可以提升反演网络的准确性.

表1 五种常规模型的平均相对误差

Table 1 Average relative error of five conventional models

	反演网络	同时训练正、反演网络
type1	0.27	0.22
type2	0.38	0.36
type3	0.46	0.33
type4	0.36	0.34
type5	0.41	0.32

2.5 鲁棒性检验

真实数据上不可避免地会含有一定的噪声，为了降低网络对微小扰动的敏感程度，在处理带噪数据时泛化性能下降，本节对上述五种常规测试数据中的干净重力异常数据添加不同程度的高斯白噪声，生成带噪数据，验证网络的泛化性.测试数据包含常规模型每种100个，共500个.数据加噪方式如式(10)所示：

$\boldsymbol{d}_{\mathrm{noise}}=\boldsymbol{d}+\alpha \times \overline{\boldsymbol{d}} \times N(0, 1), $

其中，d为原始重力异常数据，d_noise为加噪后的重力异常数据，d为原始重力异常数据的均值，α为噪声比例，N(0, 1)为标准正态分布.

图 15为不同噪声比例下的重力异常图，图 15a为原始重力异常数据，图 15b—d分别是加噪比例为2%、4%、6%的重力异常数据.使用带噪的重力异常数据进行反演测试，计算所有常规模型的平均相对误差，结果如图 16所示，其中横轴为反演网络输入的重力异常数据噪声的添加比例，纵轴为五种常规模型的平均相对误差.实验结果表明，利用神经网络的近似非线性映射能力可以得到可接受的反演结果.另外，随着噪声比例增加，反演模型的相对误差增大.

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图15 不同噪声比例下的重力异常数据

(a)干净的重力数据；(b)加噪比例为2%的重力数据；(c)噪比例为4%的重力数据；(d)加噪比例为6%的重力数据.

Fig 15 Gravity anomaly data with different noise ratios

(a) Clean gravity data; (b) Gravity data with 2% noise; (c) Gravity data with 4% noise; (d) Gravity data with 6% noise.

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图16 重力异常数据添加不同比例的噪声下反演结果的平均相对误差

Fig 16 Average relative error of inversion results with different proportion of noise

2.6 野外数据实验

位于墨西哥萨卡特卡斯州的圣尼古拉斯矿床是一个火山岩型块状硫化物矿床，富含矿石级的铜、锌和伴生的金银等矿体.根据钻探信息显示，块状硫化物的上端位于地表下150~220 m，硫化物底端矿体延伸至地表下400~450 m的深度，针对该矿区，Johnson等人已经做了很多相关研究，且提供了该地区详细的地质和测量数据(Phillips et al., 2001; Lü et al., 2023).

图 17a为圣尼古拉斯矿区的剩余重力异常图，中心部分的异常由圣尼古拉斯矿床产生，周围位置的异常数据产生自镁铁质火山岩，其中AA′和BB′分别是北向和东向的两条钻孔测线.根据钻孔数据提供的先验信息和该地区的实际地质情况，将反演的密度值设为1.1 g/cm³.将野外真实的重力异常数据输入到训练好的反演网络中，可以得到图 17b中所示的密度模型，可以看出网络反演出的密度异常体比较聚焦.

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图17 (a) 圣尼古拉斯矿区重力异常图；(b)圣尼古拉斯矿区的反演结果

AA′和BB′为钻孔测线.

Fig 17 (a) Gravity anomaly map of the St. Nicholas; (b) Inversion result of the St. Nicholas

AA′ and BB′ are drilling lines.

为了验证本文方法在实测数据反演中的有效性，将反演结果(图 18)与传统的共轭梯度下降法以及仅用LinkNet网络反演所得结果(Li et al., 2023)进行比较.图 18为不同方法的反演结果的垂直剖面图，其中图 18a为密度模型在AA′测线东侧的剖面图，图 18b为密度模型在BB′测线北侧的剖面图，图中的黑色曲线为该区域真实矿体的边界轮廓.

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图18 基于LinkNet正反演的圣尼古拉斯矿床的重力反演结果

黑框表示硫化矿体的轮廓.

Fig 18 the gravity inversion results of LinkNet forward and inversion of the San Nicolas

The black box shows the outline of the sulfide ore body.

PCG方法是基于L₂范数的方法，得到的反演结果相对平滑，从模型剖面图与矿体真实轮廓的对比结果可以看出，基于网络的方法反演出的矿体位置与矿体的真实边界较为重合，可以大致圈定异常体所在位置.但相比而言，基于LinkNet网络的正反演方法结果更聚焦.

3 结论

本文提出了同时训练正演网络和反演网络的方法，该方法在损失函数中同时包含数据损失和模型损失，网络在训练时依次通过反演网络和正演网络，使用两部分损失对网络的参数进行更新.相比于只训练反演网络进行重力异常反演的方式，该方法通过正演网络引入额外的数据损失，对反演结果进一步约束，提高反演网络的反演精度.基于仿真模型实验和实际资料实验分析，结果表明深度学习方法在重力反演中表现出了良好的非线性表达能力以及鲁棒性，可以重建出一个结构复杂的地质模型.

感谢审稿专家提出的修改意见和编辑部的大力支持！

References

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Adler

, Öktem

. Solving ill-posed inverse problems using iterative deep neural networks. Inverse Problems. 2017, 33(12 124007

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Abstract

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0 引言

1 模型介绍

1.1 重力正演

图1 正演与反演关系示意图

1.2 重力反演

1.3 网络反演方法

图2 神经网络反演流程图

1.4 网络介绍

1.4.1 正演网络结构

图3 网络残差块结构

图4 正演网络结构

1.4.2 改进的LinkNet反演网络

图5 LinkNet网络结构示意图

图6 编码模块结构示意图

图7 解码模块结构示意图

1.4.3 本文网络结构

图8 网络训练流程图

2 实验

2.1 数据集构建

图9 随机模型可视化图

2.2 评价指标

2.3 仿真实验

图10 常规模型

图11 同向双阶梯模型反演结果

图12 单个随机模型反演结果

图13 两个随机模型反演结果

图14 随机模型反演结果按层块数分布图

2.4 消融实验

表1 五种常规模型的平均相对误差

2.5 鲁棒性检验

图15 不同噪声比例下的重力异常数据

图16 重力异常数据添加不同比例的噪声下反演结果的平均相对误差

2.6 野外数据实验

图17 (a) 圣尼古拉斯矿区重力异常图；(b)圣尼古拉斯矿区的反演结果

图18 基于LinkNet正反演的圣尼古拉斯矿床的重力反演结果

3 结论

References